Kombinationen und Binomialkoeffizient

Stochastik Klasse 10

Wann benutzt man $\binom{n}{k}$?
Warum steht im Nenner $k!$?

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der man Aufgaben aus der Kombinatorik lösen kann.

Ein bekanntes Beispiel ist das Lotto, das man auch "6 aus 49" nennt und das nicht ohne Grund. Man zieht nämlich 6 unterscheidbare Kugeln aus einer Urne mit 49 Kugeln, ohne auf die Reihenfolge zu achten. Die Anzahl der Kombinationen ergibt sich zu:

$$\binom{49}{6}=13.983.816$$

Formel des Binomialkoeffizienten

In der Kombinatorik wird diese Formel sehr oft verwendet, weshalb man diese Kurzschreibweise eingeführt hat.

Sprechweisen für den Binomialkoeffizienten

Es gibt zwei Sprechweisen, die etwa gleich gebräuchlich sind, deshalb sollte man beide kennen. $\binom{n}{k}$ nennt man:

„n über k“
„k aus n“ (intuitiver, da $\binom{n}{k}$ berechnet, wie viele Möglichkeiten es gibt $k$ Kugeln aus einer Urne mit $n$ Kugeln zu ziehen)

Berechnung des Binomialkoeffizienten

Ein einfacher Weg, einen Binomialkoeffizienten zu berechnen, besteht in folgender Herangehensweise:

Notiere die Fakultät von k unter dem Bruchstrich.
Notiere das Produkt der gleichen Anzahl von absteigenden Zahlen im Zähler.

Beispiel: $\displaystyle\binom{8}{3}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3}=56$

Begründung an einem Beispiel:

$\displaystyle\binom{n}{3}=\frac{n!}{3!\cdot\left(n-3\right)!}=\frac{n \cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot ... \cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot (n-3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }$

Man erkennt ganz gut, dass sich die Faktoren $(n-3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ sowohl im Zähler, als auch im Nenner finden und sie sich wegkürzen lassen.

Interaktive Visualisierung

Hier gibt es eine interaktive Visualisierung, die anschaulich zeigt, wie sich die Kombinationen "k aus n" ergeben.

Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

Der Binomialkoeffizient ist immer eine ganze Zahl größer oder gleich null.
Falls $k>n$ folgt: $\displaystyle\binom{n}{k}=0$. (Man kann nicht aus 49 Kugeln 50 ziehen.)
Symmetrie: $\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$

Additionstheorem: $\displaystyle\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$

Sonderfälle des Binomialkoeffizienten

Pascalsches Dreieck

Die Werte der Binomialkoeffizienten kann man direkt am Pascalschen Dreieck ablesen.

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Kombinationen und der Binomialkoeffizient

Eine Kombination ist eine Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge. Die sechs Lottozahlen sind dieselben, egal in welcher Folge sie gezogen werden.
Die Formel: $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$, gelesen „$n$ über $k$“.
Woher das $k!$ im Nenner kommt: Zuerst zählt man die geordneten Auswahlen ($\frac{n!}{(n-k)!}$). Jede ungeordnete Auswahl wurde dabei $k!$-mal gezählt – einmal für jede Reihenfolge. Also teilt man durch $k!$.
Symmetrie: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. $k$ auswählen heißt zugleich, die übrigen $n-k$ wegzulassen. $\binom{10}{8}$ rechnet man deshalb als $\binom{10}{2} = 45$.
Das Pascalsche Dreieck enthält genau diese Zahlen: Jede entsteht als Summe der beiden darüber. Es ist zugleich die Tabelle der Koeffizienten von $(a+b)^n$.

Aufgaben

Berechne $\binom{5}{2}$.
Lösung
$\dfrac{5!}{2!\cdot 3!} = 10$.
Wie viele Teams aus 3 Personen lassen sich aus 12 bilden?
Lösung
$\binom{12}{3} = 220$.
Warum ist $\binom{10}{8} = \binom{10}{2}$?
Lösung
Acht auswählen heißt zwei weglassen – dieselbe Anzahl von Möglichkeiten.

Weiterführende Aufgaben

Baut das Pascalsche Dreieck bis zur zehnten Zeile auf und prüft an drei Stellen, dass die Einträge mit $\binom{n}{k}$ übereinstimmen.