Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Berechnest du eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, so summierst du die Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse auf.

Meist wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit bei binomialverteilten Zufallsgrößen und den zugehörigen Bernoulli-Ketten verwendet, um statt \(P\left(X=k\right)\) auch Wahrscheinlichkeiten der Form \(P\left(Xk\right),P\left(X\ge k\right)\) und alle Variationen von \(P\left(k_1

Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit ohne besondere Hilfsmittel

Um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, addierst du die Wahrscheinlichkeiten aller Teilereignisse im vorgegebenen Bereich.

\(P\left(2\le X\le4\right)\) bedeutet zum Beispiel, dass die Zufallsgröße \(X\)die Werte \(2\), \(3\) und \(4\) annehmen kann. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit ergibt sich also aus:

\(P\left(2\le X\le4\right)=P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)\)

Aufwändigere kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Während du beim ersten Beispiel die drei Teilwahrscheinlichkeiten vielleicht noch schnell mit der Bernoulli-Formel berechnest, hast du bei \(P\left(X\le100\right)\) eher weniger Spaß, denn du müsstest alle Teilwahrscheinlichkeiten \(P\left(X=0\right),\ P\left(X=1\right),...P\left(X=99\right),P\left(X=100\right)\) aufsummieren. Oder kurz geschrieben mit dem Summenzeichen: \(P\left(X\le100\right)=\sum_{k=0}^{100}P\left(X=k\right)\).

Hier helfen dir stochastische Tabellen, wie zum Beispiel das Tafelwerk oder der Geogebra Wahrscheinlichkeitsrechner. Auch manche Taschenrechner können das berechnen, schau in der Bedienungsanleitung nach.

Gedruckte Tabellen (die du meistens in der Schule verwenden musst) haben dabei eine Einschränkung: lediglich Wahrscheinlichkeiten der Form \(P\left(X\le k\right)_{ }\) können nachgeschaut werden. Im Tafelwerk ist dies zum Beispiel die rechte Spalte der Tabelle. Alle anderen Fälle musst du umschreiben:

Berechnung mit dem Taschenrechner

Die Berechnung einer kumulierten Wahrscheinlichkeit, gerade bei der Binomialverteilung, ist von Hand sehr mühsam. Die meisten Taschenrechner oder Online-Rechner haben eine Funktion BinomialCDF oder PoissonCDF etc. Wo diese zu finden ist, steht in der Betriebsanleitung. Damit lassen sich kumulierte Wahrscheinlichkeiten von der Form \(P\left(X\le k\right)\) in einem Schritt berechnen.

Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.

Schlau Fassung

Kumuliert heißt aufsummiert: \(P(X \le k)\) ist die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis \(k\). Tabellen und Taschenrechner liefern genau diese Werte.
Die Übersetzungen, an denen die meisten Fehler entstehen: „höchstens \(k\)“ ist \(P(X\le k)\); „mindestens \(k\)“ ist \(1 - P(X \le k-1)\); „mehr als \(k\)“ ist \(1 - P(X\le k)\); „weniger als \(k\)“ ist \(P(X\le k-1)\).
„Zwischen \(a\) und \(b\)“ (einschließlich): \(P(a \le X \le b) = P(X\le b) - P(X\le a-1)\).
Das Gegenereignis spart Arbeit: \(P(X\ge 1) = 1 - P(X=0)\) ist ein Summand statt vieler. Bei \(n=100\) ist der Unterschied gewaltig.
Der klassische Fehler ist die verschobene Grenze. „Mindestens 3“ schließt die 3 ein, also \(1 - P(X\le 2)\) – nicht \(1 - P(X\le 3)\). Im Zweifel die Werte kurz aufzählen.

Aufgaben

Schreibe „mindestens 4 Treffer“ mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten.
Lösung
\(1 - P(X \le 3)\).
Schreibe „zwischen 2 und 5 Treffern (einschließlich)“.
Lösung
\(P(X\le 5) - P(X\le 1)\).
Berechne \(P(X\ge 1)\) bei \(n=20\), \(p=0{,}1\).
Lösung
\(1 - 0{,}9^{20} \approx 0{,}878\).

Weiterführende Aufgaben

Erstellt eine Merkkarte mit allen sechs Formulierungen und je einem Beispiel. Prüft sie gegenseitig ab.