Höhere Wurzel

Die n-te Wurzel (⁣\(n\ge2\)) einer Zahl \(a\in ℝ_0^+\), bezeichnet als \(\sqrt[n]a\) ist diejenige Zahl, die man mit n potenzieren muss ("hoch n nehmen"), um \(a\) zu erhalten.

Anders gesagt: Die Lösung der Gleichung \(x^n=a\) bezeichnet man als \(\sqrt[n]a\).

Zum Beispiel ist \(\sqrt[3]{27}=3\), denn \(3^3=27\).

Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht zugelassen, da es für \(n\) gerade die Gleichung \(x^n=a\) keine Lösung gibt, weil die gerade Potenz einer reellen Zahl nie negativ werden kann. Zwar gibt es für \(n\) ungerade eine Gleichung \(x^n=a\) für negative \(a\), allerdings gelten dann die Potenzgesetze teilweise nicht mehr.

z. B. \(\sqrt[4]{-1}\) ist nicht definiert, denn \(x^4=\left(x^2\right)^2=-1\) besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.

z.B. \(-2\;=\;\sqrt[3]{-8}\;\neq\;\sqrt[6]{(-8)^2}\;=\sqrt[6]{64}\;=\;\sqrt[3]8\;=2\)

Im Falle \(\mathrm n=2\) spricht man von der Quadratwurzel und schreibt statt \(\sqrt[2]a\) einfach \(\sqrt a\).

Was ist was bei der n-ten Wurzel?

$$\sqrt[n]{x}$$

• Das \(n\) nennt man Wurzelexponent.
• Das \(x\) nennt man Radikand.
• \(\sqrt[n]x\) nennt man einen Wurzelterm oder auch eine n-te Wurzel.

Beispiele

1. \(\begin{array}{l}\sqrt[3]{125}=5\\\end{array}\), denn \(5^3=125\).
2. \(\sqrt[4]{-3}\) ist nicht definiert, denn \(x^4=\left(x^2\right)^2=-3\) besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.
3. \(\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]3\cdot2\), denn \(48\;=\;3\;\cdot\;16\), wobei \(\begin{array}{l}2^4\;=\;16\\\end{array}\) und \(\sqrt[4]3\) sich nicht vereinfachen lässt.

Rechenregeln

• \(\sqrt[\mathrm n]{\mathrm a}\;\cdot\;\sqrt[\mathrm n]{\mathrm b}=\sqrt[\mathrm n]{\mathrm a\cdot\mathrm b}\)
• \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
• \(\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}=\mathrm{a}^{\frac{1}{\mathrm{n}}}\)
• \(\mathrm{a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{\mathrm{a}^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\)
• \(\sqrt[\mathrm{m}]{\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{a}}}=\sqrt[\mathrm{m}\cdot \mathrm{n}]{\mathrm{a}}\)