Schnittpunkt zweier Funktionen

Ein Schnittpunkt zweier Funktionen ist ein Punkt in der Ebene, in dem sich die beiden Funktionsgraphen schneiden, d.h. wenn man die x-Koordinate des Punktes in beide Funktionen einsetzt, erhält man bei beiden denselben Wert (nämlich die y-Koordinate des Punktes).

In diesem Artikel wird die Art und Anzahl der Schnittpunkte erklärt. Für die genaue Vorgehensweise bei der Bestimmung von Schnittpunkten siehe Artikel "Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen ".

Informationen zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen findest du in dem Artikel "Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen".

Formale Definition

Die maximale Anzahl an Schnittpunkten

Eine kurze Übersicht über Funktionen, bei denen man zumindest weiß, wie viele Schnittpunkte es maximal gibt, auch wenn man sie dann noch nicht unbedingt bestimmen kann.

Zwei Geraden

Zur Erinnerung: Der Funktionsterm einer Geraden hat die Form

$$f(x)=mx+t$$

wobei \(m\) und \(t\) jeweils Konstanten sind. \(m\) ist dabei die Steigung der Geraden und \(t\) die Verschiebung in der \(y\)-Richtung, oder der \(y\)-Achsenabschnitt.

Es gibt \(3\) Möglichkeiten für die Anzahl von Schnittpunkten bei zwei Geraden:

1. Sie schneiden sich nicht, d. h. sie sind echt parallel zueinander.
2. Sie schneiden sich in genau einem Punkt.
3. Sie schneiden sich in unendlich vielen Punkten, d. h. sie sind identisch.

Parabel und Gerade

Eine Parabel hat mit einer Geraden höchstens 2 Schnittpunkte.

Die Anzahl an Schnittpunkte kann man in dem Fall mithilfe der Diskriminante erkennen. Dazu geht man wie folgt vor:

1. Funktionsterme gleichsetzen

2. Auf eine quadratische Gleichung der Form \(\mathrm{ax}²+\mathrm{bx}+\mathrm c=0\) bringen

3. Diskriminante \(\boldsymbol D\boldsymbol=\boldsymbol b^\mathbf2\boldsymbol-\mathbf4\boldsymbol a\boldsymbol c\) berechnen:

• Falls \(\boldsymbol D\boldsymbol<\mathbf0\) ist, dann gibt es keinen Schnittpunkt.
• Falls \(\boldsymbol D\boldsymbol=\mathbf0\) ist, dann gibt es genau einen Schnittpunkt.
• Falls \(\boldsymbol D\boldsymbol>\mathbf0\) ist, dann gibt es zwei Schnittpunkte.

Polynomfunktion und Gerade

Die maximale Anzahl der Schnittpunkte von einer Polynomfunktion mit einer Geraden entspricht dem Grad des Polynoms.

So hat ein Polynom dritten Grades höchstens \(3\) Schnittpunkte mit einer Geraden, kann aber auch weniger Schnittpunkte haben.

Ein Polynom ungeraden Grades größer oder gleich \(3\) besitzt mit jeder Geraden mindestens einen Schnittpunkt.

Beispiel: Polynom vierten Grades

Beliebige Funktionen

Im Allgemeinen gibt es keine Höchstgrenze für die Anzahl der Schnittpunkte, auch wenn die Funktionen nicht identisch sind. Die zwei periodischen Funktionen Sinus und Kosinus zum Beispiel besitzen unendlich viele Schnittpunkte.

Video zur Berechnung von Schnittpunkten

Bestimmung von Schnittpunkten

Die Bestimmung von Schnittpunkten besteht aus drei Schritten:

1. Funktionsterme gleichsetzen
2. Gleichung nach x auflösen
3. Die Lösung der Gleichung in eine der Funktionsterme einsetzen.

Die genaue Vorgehensweise und Beispiele befinden sich im Artikel Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen.