Partielle Integration
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Die partielle Integration ist eine Methode zur Integration bestimmter Produkte zweier Funktionen. Man wendet sie oft an, wenn in einem Integral das Produkt zweier Funktionen steht, von denen die eine einfach zu integrieren und die andere leicht abzuleiten ist. Sie ergibt sich aus der Produktregel der Ableitung (siehe Abschnitt: Herleitung).
Man kann sich auch zunutze machen, dass nach einigen Wiederholungen das ursprüngliche Integral wieder auftritt.
Faktor-1-Trick
Steht in einem Integral kein Produkt, aber eine Funktion, die leicht abzuleiten ist, kann man einen Trick anwenden:
Multiplikation der Funktion im Integral mit 1: \(\;\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int1\cdot f\left(x\right)\mathrm{d}x\)
Das schafft die Voraussetzungen, um partielle Integration anwenden zu können.
Beispiel
Man sucht \(\;\int\ln\left(x\right)\mathrm{d}x\).
Die Ableitung von \(\ln\left(x\right)\) ist \(\frac1x\). Indem man \(\ln\left(x\right)\) mit \(1\) multipliziert, erhält man also ein Produkt aus einer leicht zu integrierenden und einer leicht abzuleitenden Funktion: \(\int\ln\left(x\right)\mathrm{d}x=\int1\cdot\ln\left(x\right)\mathrm{d}x\) (\(1\) entspricht \(u'\left(x\right)\), \(\ln\left(x\right)\) entspricht \(v\left(x\right)\))
$$\int1\cdot\ln\left(x\right)\mathrm{d}x\;=\;x\ln\left(x\right)-\int x\cdot\frac1x\mathrm{d}x\;=\;\mathrm{xln}\left(x\right)-x+c $$