Ableitung berechnen
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Die meisten Funktionen, die in der Schule abgeleitet werden müssen, sind durch Summen, Produkte und Verknüpfungen einiger weniger Funktionen gegeben.
Um Ableitungen erfolgreich zu berechnen genügt es also:
- die gegebene Funktion so umzuformen, dass die Ableitungsregeln benutzt werden können,
- die Funktion dann passend aufzuspalten,
- die Ableitungen der Bestandteile zu kennen und dann
- die Ableitungsregeln anzuwenden.
Ableitungsregeln
Faktorregel
Summenregel
Produktregel
Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Produktregel
Quotientenregel
Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Quotientenregel
Kettenregel
Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Kettenregel
Weitere Beispiele
Ableitung von \(a^x\)
Kennt man die Ableitung der e-Funktion, so lässt sich die Ableitung von \(f(x)=a^x\) mit \(a>0\) leicht über die Kettenregel berechnen.
Nach den Rechenregeln für die Exponentialfunktion gilt nämlich:
$$f(x)=a^x=\underbrace{e^{\overbrace{\ln(a)\cdot x}^{v(x)}}}_{u(x)}$$mit \(u(x)=e^x\) und \(v(x)=\ln(a)\cdot x\).
Wendet man nun die Kettenregel an, so ergibt sich:
$$f'(x)=e^{\ln(a)\cdot x}\cdot \ln(a)=\ln(a)\cdot a^x$$Ableitung von \(x^x\)
Berechne die Ableitung von \(f(x)=x^x\).
Die Funktion \(f\) lässt sich nicht direkt mit einer der obigen Ableitungsregeln ableiten, da sie nicht in der benötigten Form ist. Also formen wir zunächst um und zerlegen \(f\) dann:
$$f(x)=e^{\ln(x)\cdot x}=u(v(x))$$mit \(u(x)=e^x\) und \(v(x)=\ln(x) \cdot x\).
Damit lassen sich zuerst die Kettenregel und dann die Produktregel anwenden:
Ableitung von \(\log_a(x)\)
Zu einem gegebenen \(a>0,\;a\neq1\) wollen wir \(f(x)=\log_a(x)\) ableiten.
Wieder ist die Strategie den Funktionsterm von \(f\) derart umzuformen, dass sich die bekannten Ableitungsregeln anwenden lassen.
Mit den Rechenregeln für Logarithmen erhalten wir:
$$f(x)=\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$Da \(\ln(a)\) eine Zahl ist und unabhängig von \(x\) kannst du die Faktorregel anwenden und erhältst: \(f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln(a)}\).