Partialbruchzerlegung

Als Partialbruchzerlegung (PBZ) bezeichnet man die Darstellung einer rationalen Funktion als Summe von Brüchen, die im Nenner die Polstellen der Funktion haben.

So ist z. B. die Partialbruchzerlegung von \(\frac{2x}{x^2-1}\) gegeben als:

$$\frac{2x}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$$

Beispiel zur Partialbruchzerlegung

Gegeben ist ein Bruch, dieser soll als Summe von nicht weiter zerlegbaren Brüchen geschrieben werden.

Man berechnet die Nullstellen des Nenners und faktorisiert diesen.

$$\frac{2}{x^2-1}$$

Der Bruch lässt sich als Summe schreiben mit den jeweiligen Faktoren im Nenner.

$$\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Man muss die Zähler A und B der Summanden berechnen.

$$\frac2{x^2-1}\;=\;\frac A{\left(x-1\right)}+\frac B{\left(x+1\right)}$$

Man multipliziert die Summenform aus, dann steht auf beiden Seiten der gleiche Nenner und dieser kann weggelassen werden.

$$\frac2{x^2-1}\;=\;\frac{A\left(x+1\right)+B\left(x-1\right)}{x^2-1}$$

Nun wählt man A und B so, dass der Zähler der linken Seite mit dem der rechten übereinstimmt. Dazu löst man die Klammern des Zählers, der A und B enthält, zunächst auf. Es entsteht eine Art Polynom, welches in diesem Fall als Koeffizienten geklammerte Terme besitzt.

$$2\;=\;x\left(A+B\right)+1\cdot\left(A-B\right)$$

Die Koeffizienten des Polynoms auf der rechten Seite lassen sich durch einen Koeffizientenvergleich der linken und rechten Seite bestimmen. Damit erhält man A und B durch Lösen eines linearen Gleichungssystems:

$$(\mathrm I)\;\;A-B=2$$$$(\mathrm I\mathrm I)\;\;A+B=0$$

aus \((\mathrm I \mathrm I)\) folgt:

$$\;\;A=-B$$

Einsetzen von \(A=-B\) in Gleichung \((I)\) ergibt:

$$-2B=2\;\Rightarrow\;B=-1\;\Rightarrow A=1$$

.

Integration des Beispiels

Nachdem man die PBZ von \(f(x)=\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1} + \frac{-1}{x+1}\) erhalten hat, ist es möglich, \(f\) zu integrieren:

$$\int f(x) \mathrm{d}x=\int \frac{2}{x^2-1} \mathrm{d}x=\int \left(\frac{1}{x-1} + \frac{-1}{x+1} \right)\mathrm{d}x=\int\frac{1}{x-1}\mathrm{d}x - \int\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x=\ln|x-1| - \ln|x+1|+C$$

Damit ist die Partialbruchzerlegung gerade dann hilfreich, wenn Funktionen integriert werden, deren Nenner nicht mit den herkömmlichen Integrationsrechenregeln integriert werden können.