Menge

Die gesamte heutige Mathematik ist auf der Mengenlehre aufgebaut. Sie findet Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, wie z. B. der Analysis, der Geometrie oder der Stochastik.

Definition und Eigenschaften von Mengen

Definition

Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von wohl unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte, die zu einer Menge gehören, heißen Elemente.

Eigenschaften

• Elemente von Mengen können zum Beispiel Zahlen, Buchstaben, Wörter oder Mengen selbst sein.
• Eine Menge wird mit einem großen Buchstaben bezeichnet.
• Die Objekte selbst werden in geschweifte Klammern geschrieben. Zum Beispiel sind \(\{1; 2; 3\}\), \(\{a; b; c\}\), \(\{\mathrm{Hund}; \mathrm{Katze}; \mathrm{Maus}\}\) drei Mengen mit jeweils drei Elementen.
• Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. So ist die Menge \(\{1; 2; 3\}\) gleich der Menge \(\{3; 2; 1\}\).
• Die Anzahl eines Elements spielt auch keine Rolle, also ob ein Element mehrfach in einer Menge enthalten ist oder nur einmal.
• In einer Menge gibt es keine Ordnung. Betrachtet man z. B. die Menge aller Kinder in einer Klasse, die älter als \(10\) sind, dann kann man anhand der Menge nicht sagen, welches Kind das Älteste oder das Jüngste in der Menge ist.
• Außerdem gibt es noch die Möglichkeiten, dass eine Menge gar kein Element enthält, dies ist dann die leere Menge.

Darstellung einer Menge

Eine Menge lässt sich auf verschiedene Weisen darstellen. Die Darstellung im Beispiel oben nennt man Venn-Diagramm. Es gibt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, Mengen aufzuschreiben.

• Entweder zählt man die einzelnen Elemente auf. Das bietet sich vor allem bei endlichen Mengen an, das heißt bei Mengen, die nur eine endliche Anzahl von Elementen besitzen (z. B. \(\{1; 2; 3\}\)), oder man setzt bei nicht endlichen Mengen Pünktchen. Dazu muss aber klar sein, wie die weiteren Elemente der Menge heißen. So wäre zum Beispiel \(\mathbb N:= \{1;\; 2;\; 3;\ldots\}\) die Menge der natürlichen Zahlen oder \(\{1; 4; 9; 16; 25;…\}\) die Menge der Quadratzahlen. Aber so etwas wie \(\{42; 72; 829; \ldots\}\) wäre nicht korrekt, denn man weiß nicht, wie es weitergehen soll.

• Eine zweite Möglichkeit, Mengen zu notieren, ist eine allgemeinere Schreibweise, bei der man eine Eigenschaft aller Elemente einer Menge angibt, z. B.

  \(M = \left \{ x~|~ x\; \mathrm{ist}\;\mathrm{ein}\;\mathrm{Musikinstrument}\right\}\).

  Hierbei ist "ist ein Musikinstrument" die Eigenschaft. Gelesen wird das:

  \({\begin{array}{l}M\;\;\underset{\underset{\mathrm{ist}}\uparrow}=\;\;\;\underset{\underset{\mathrm{die}\;\mathrm{Menge}\;\mathrm{aller}}\uparrow}\{\;\; x\;\underset{\underset{\mathrm{mit}\;\mathrm{der}\;\mathrm{Eigenschaft}}\uparrow}{\left|\;\right.}x\;\;\;\;\;\mathrm{ist}\;\mathrm{ein}\;\mathrm{Musikinstrument}\}\\\end{array}}\) \(M\) ist die Menge aller \(x\), mit der Eigenschaft, dass jedes \(x\) ein Musikinstrument ist, also ist \(M\) einfach die Menge aller Musikinstrumente.

Häufig verwendete Notationen

\(\mathrm a\in\mathrm A\): \(a\) ist Element von \(A\).

\(\mathrm a\not\in\mathrm A\): \(a\) ist nicht Element von \(A\).

\(\left|\mathrm A\right|\): Mächtigkeit von \(A\), bei endlichen Mengen die Anzahl der Elemente einer Menge.

So bedeutet \(\left|\mathrm{A}\right|=\left|\mathrm{B}\right|=\mathrm{n}\), dass die Mächtigkeit von \(A\) gleich der Mächtigkeit von \(B\) ist. \(A\) und \(B\) haben also die gleiche Anzahl an Elementen, nämlich \(n\).

Wichtige Mengen

Einige häufig verwendete Mengen sind hier aufgelistet:

Intervalle als Mengen

Eine weitere, wichtige Art von Mengen sind die Intervalle.

Für  \(\mathrm a,\mathrm b\;\in\;\mathbb{R}\) gilt:

Operationen mit Mengen

Man kann Mengen miteinander verknüpfen. Zur Vereinfachung verwendet man verschiedene Symbole für die Grundoperationen.

Teilmenge

Eine Menge \(A\) heißt Teilmenge der Menge \(B\), wenn jedes Element aus \(A\) auch Element von \(B\) ist. Eine Teilmenge heißt eigentlich oder echt, wenn weiterhin \(\mathrm A\neq\mathrm B\) gilt.

Potenzmenge

Die Menge aller Teilmengen von einer Menge bezeichnet man als Potenzmenge der betreffenden Menge.

Rechenregeln

Für die folgenden Gesetze sind A, B, C Teilmengen der Grundmenge G.

Partition einer Menge

Als Partition (Zerlegung, Klasseneinteilung) einer Menge \(M\) versteht man eine Menge \(P\), deren Elemente nichtleere, disjunkte Teilmengen von \(M\) sind, sodass aber jedes Element von \(M\) genau in einem Element aus \(P\) enthalten ist.

Partitionen der Menge  \(\left\{1;\;2;\;3\right\}\)  sind also:

\(\left\{\left\{1;\;2;\;3\right\}\right\}\;,\;\;\left\{\left\{1;\;2\right\};\left\{3\right\}\right\}\;,\;\;\;\left\{\;\left\{1\right\};\left\{2;\;3\right\}\right\}\;\;,\;\;\;\left\{\left\{1;\;3\right\};\left\{2\right\}\right\}\;,\;\;\;\left\{\left\{1\right\};\left\{2\right\};\left\{3\right\}\right\}\)