Teilmenge einer Menge

Eine Menge \(A\) heißt Teilmenge der Menge \(B\), wenn jedes Element aus \(A\) auch Element von \(B\) ist. Hierfür schreibt man \(A\subseteq B\).

Eine Teilmenge heißt eigentliche oder echte Teilmenge, falls \(A\) und \(B\) nicht die gleichen Mengen sind, falls also \(A \subseteq B\) und \(A\ne B\) ist. Hierfür ist die Schreibweise \(A\subsetneq B\) üblich.

Anmerkungen

• \(\varnothing\subseteq A\subset G\)

  Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und jede Menge muss Teilmenge der Grundmenge sein.

• \(A\subseteq A\)

  Jede Menge ist (unechte) Teilmenge von sich selbst.

• Wenn \(A\subseteq B\) und \(B\subseteq A\), dann sind \(A\) und \(B\) die gleiche Menge: \(A=B\)

• Wenn \(A\subseteq B\) und \(B\subseteq C\), dann ist auch \(A\subseteq C\).

• \(A\subseteq\left(A\cup B\right)\)

  Jede Menge ist Teilmenge der Vereinigung von sich mit einer anderen Menge

• \(\left( A\cap B\right)\subseteq A\)

  Der Schnitt einer Menge mit einer anderen Menge ist immer Teilmenge der ursprünglichen Menge

• Für die Mächtigkeit einer Teilmenge \(A\subseteq B\) gilt: \(\left| A\right|\leq\left| B\right|\)

Potenzmenge

Als Potenzmenge  \(\mathcal P\left( A\right)\) bezeichnet man die Menge aller Teilmengen von \(A\).

Bei \(A=\left(1,\;2,\;3\right)\)  ist  \(\mathcal P(A)\;=\;\left(\varnothing,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\},\left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\},\left\{1,2,3\right\}\right)\) .

Hierbei ist zu beachten, dass diese Menge selbst Mengen enthält.

\(\left\{\left\{1\right\}\right\}\) und \(\left\{1\right\}\) sind nicht das gleiche.

Die Mächtigkeit der Potenzmenge \(\left|\mathcal P(A)\right|\) , kann berechnet werden durch  \(\left| \mathcal P( A)\right|=2^{\left| A\right|}\;\) .

In jeder Teilmenge hat jedes Element 2 Möglichkeiten, es ist enthalten, oder eben nicht.

Im Beispiel ist also \(\left|\mathcal P( A)\right|=2^{\left| A\right|}\;=2^3=8\).