Gebrochen-rationale Funktionen

Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch von Polynomen darstellen lässt. Gebrochen-rationale Funktionen sind also von der Form \(f\left(x\right)=\dfrac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}\), wobei sowohl \(p(x)\) als auch \(q(x)\) Polynome sind.

Anhand des Zähler- und Nennergrad der Polynome \(p(x)\) und \(q(x)\) unterscheidet man zwischen echt gebrochen-rationalen Funktionen und unecht gebrochen-rationalen Funktionen.

Echt gebrochen-rationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms \(p(x)\) ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms \(q(x)\).

Beispiel

\(\dfrac{4x^3+2x^2-x}{2x^5}\Rightarrow\) Grad von \(p\left(x\right)\) ist \(3\), Grad von \(q\left(x\right)\) ist \(5\).

Unecht gebrochen-rationale Funktion

Der Grad des Zählerpolynoms \(p(x)\) ist größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms \(q(x)\). Hier lässt sich die Funktion durch Polynomdivision in eine Funktion mit ganz-rationalem und echt gebrochen-rationalem Anteil zerlegen.

Beispiel

\(\dfrac{6x^4-x^2+2x}{5x^3}\Rightarrow\) Grad von \(p\left(x\right)\) ist \(4\), Grad von \(q\left(x\right)\) ist \(3\).

Zerlegte Funktion: \(\dfrac65x-\dfrac1{5x}+\dfrac2{5x^2}\)

Verschiedene Beispiele für gebrochen-rationale Funktionen

Echt gebrochen-rationale Funktionen

\(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\) (Hyperbel)

\(f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}\)

Unecht gebrochen-rationale Funktionen

Jedes Polynom, wie zum Beispiel: \(f\left(x\right)=x^2+x\;\left(=\dfrac{x^2+x}1\right)\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2}x\)

Beachte:

\(\dfrac{x^2}x=f\left(x\right)\neq g\left(x\right)=x\) , denn \(f\) und \(g\) haben unterschiedliche Definitionsbereiche:

• \(D_f=ℝ\setminus\left\{0\right\}\)
• \(D_g=ℝ\)

Eigenschaften an Beispielen

Bei gebrochen-rationalen Funktionen lassen sich einige Eigenschaften, wie die Art und Lage der Asymptoten, an der Funktionsgleichung ablesen, sowohl an der ausmultiplizierten als auch an der faktorisierten Form.

Allgemeines Beispiel

Aus dem Funktionsterm lässt sich nun ablesen:

• \(\textcolor{red}{(x+5)^2}\) im Nenner: Asymptote durch die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(-5\) (wegen geradem Exponenten \(2\))
• \(\textcolor{green}{(x+1)}\) im Nenner: Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(-1\) (wegen ungeradem Exponenten \(1\))
• \(\textcolor{orange}{(x-4)}\) im Nenner: Asymptote durch die Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(4\) (wegen ungeradem Exponenten \(1\))
• \(\textcolor{magenta}{(x+2)}\) wurde gekürzt und kürzt sich weg: hebbare Definitionslücke bei \(x = -2\)
• \(\textcolor{blue}{(x-3)}\) wurde gekürzt und bleibt im Zähler stehen: hebbare Definitionslücke mit der \(x\)-Achse bei \(x = 3\) (dadurch auch keine Nullstelle)
• \(\textcolor{purple}{x}\) steht im Zähler: Nullstelle bei \(x = 0\)