Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit stellt ein Maß für die Sicherheit oder Unsicherheit eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment dar.

Jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes wird eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die man als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet.

• Für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses \(A\) schreibt man meistens \(P(A)\) (das P kommt vom englischen Wort probability).

• Je höher \(P(A)\) ist, desto wahrscheinlicher ist, dass bei diesem Zufallsexperiment das Ereignis \(A\) eintreten wird.

  • Tritt \(A\) mit Sicherheit ein, so gilt \(P(A) = 1\).
  • Tritt \(A\) mit Sicherheit nicht ein, so gilt \(P(A) = 0\).

Beispiele

1. Werfen eines fairen Würfels

Wirft man einen fairen Würfel, so könnte jede (natürliche) Zahl von 1 bis 6 mit gleicher Sicherheit fallen. Hier ergibt es Sinn, dass alle Elementarereignisse

\(\begin{array}{cc}A_1 &= &\text{ „Es fällt eine 1“ }\\A_2 &= &\text{ „Es fällt eine 2“ } \\&\vdots & \\A_6 &= &\text{ „Es fällt eine 6“ } \end{array}\)

die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, also \(P(A_1) = P(A_2) = \dots = P(A_6) = \frac{1}{6}\).

2. Werfen eines unfairen (= gezinkten) Würfels

Wenn man weiß, dass der Würfel immer auf eine bestimmte Seite fallen wird, zum Beispiel auf die 5, können die Ereignisse \(A_1, A_2,\dots, A_6\) nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Für die Ereignisse \(A_1, A_2, A_3, A_4\) und \(A_6\) muss jetzt gelten

$$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4) = P(A_6) = 0,$$

da man weiß, dass diese nicht eintreten können.

Das Ereignis \(A_5\) hat jedoch die Wahrscheinlichkeit \(P(A_5)=1\), weil es sicher eintreten wird.

Bemerkung

Bei vielen Zufallsexperimenten ist es schwierig, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen direkt zu bestimmen. In solchen Fällen wird für \(P(A)\) das Experiment sehr oft wiederholt und der Grenzwert der relativen Häufigkeiten \(h_n(A)\) des Ereignisses \(A\) bei \(n\rightarrow\infty\) als Wahrscheinlichkeit gewählt.

Warum diese Wahl von Wahrscheinlichkeiten Sinn ergibt, findet man im Artikel Gesetz der großen Zahlen.

Rechenregeln

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\overline A\) zum Ereignis \(A\) ist gegeben durch

$$P(\overline A) = 1 - P(A).$$

Additionsregel für unvereinbare Ereignisse

Haben die Ereignisse \(A\) und \(B\) keine gemeinsamen Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder \(A\) oder \(B\) eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für \(A\) und \(B\):

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$

Die Ereignisse \(A\cap B\), \(A\cap \overline{B}\) und \(\overline{A}\cap B\) schließen sich gegenseitig aus, gleichzeitig ist

$$(A\cap B)\cup (A\cap\overline{B})\cup(\overline{A}\cap B)=A\cup B$$

Daher ist

$$P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})+P(\overline{A}\cap B)=P(A\cup B).$$

Wahrscheinlichkeit der Vereinigung (Satz von Sylvester)

Für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt:

$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Sind die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl \(A\) als auch \(B\) eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von \(A\) und \(B\).

In Formeln: \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\), wenn \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

Normierung der Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisraums \(\mathit\Omega\) ist immer 1.

$$P(\mathit\Omega) = 1.$$