Baumdiagramm und Pfadregeln
- Wann multipliziert und wann addiert man?
- Was ändert sich beim Ziehen ohne Zurücklegen?
Baumdiagramm und Pfadregeln
Das Baumdiagramm ist ein praktisches Hilfsmittel, um die verschiedenen möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments übersichtlich aufzuschreiben.
Verwendet wird es sinnvollerweise dann, wenn ein Experiment aus mehreren Schritten besteht (wie zum Beispiel das Werfen einer Münze und danach eines Würfels, oder das mehrmalige Werfen einer Münze o.ä.).
Bei einem solchen mehrstufigen (oder zusammengesetzten) Zufallsexperiment kann man mit einem Baumdiagramm
- die Ergebnisse des zusammengesetzten Experiments
- und die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse
aus den Ergebnissen bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Einzelexperimente ermitteln.
Vom Zufallsexperiment zum Baumdiagramm
Oft ist es nicht so einfach, von einer Sachsituation zu einem Baumdiagramm zu kommen. Deshalb hier ein paar Tipps:
Überlege dir, was die Stufen in deinem Baum sind und was die Ereignisausprägungen.
Die Stufen sind zum Beispiel aufeinanderfolgende Handlungen (1./2./3. Würfelwurf, mehrmals Ziehen,…) oder Entscheidungen (erst wählt man eine Tür, dann eine Kiste,…).
Die Ereignisausprägungen sind die verschiedenen Möglichkeiten, die sich gegenseitig ausschließen (Augenzahlen beim Würfel, Kugelfarben, Antwortmöglichkeiten bei Fragen,…)
Pfad
Der Pfad im Baum entspricht einem Weg durch den Baum. Dabei startet man immer ganz oben am Start und geht (bis auf wenige Ausnahmen) auch bis zur untersten Stufe.
Würfelt man zum Beispiel dreimal, dann entspricht jedes mögliche Ergebnis (zum Beispiel 123, 541,…) einem Pfad.
Im Artikel Abzählen mit dem Baumdiagramm kann man nachlesen, wie ein Baumdiagramm verwendet werden kann, um die Anzahl der verschiedenen Ergebnisse zu bekommen. Möchte man mehr über die Wahrscheinlichkeiten wissen, so benötigt man oft die Pfadregeln.
Video zum Baumdiagramm und zu den Pfadregeln
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Baumdiagramm und Pfadregeln
- Mehrstufige Zufallsversuche stellt man als Baumdiagramm dar: Jede Stufe ist eine Verzweigung, an jeden Ast schreibt man die Wahrscheinlichkeit.
- Pfadregel 1 (Produktregel): Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
- Pfadregel 2 (Summenregel): Gehören mehrere Pfade zum gesuchten Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.
- An jeder Verzweigung müssen die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben – eine gute Kontrolle.
- Mit Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeiten bleiben auf jeder Stufe gleich. Ohne Zurücklegen: Sie ändern sich, weil sich der Inhalt der Urne verringert.
- Bei „mindestens einmal“ ist der Weg über das Gegenereignis am kürzesten: \(1-P(\text{keinmal})\).
Aufgaben
- Zwei Münzwürfe: Wie groß ist \(P\)(genau einmal Kopf)?
Lösung
Zwei Pfade zu je \(0{,}25\): \(0{,}5\). - Urne mit 3 roten und 7 blauen Kugeln, zweimal ohne Zurücklegen. \(P\)(beide rot)?
Lösung
\(\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9} = \frac{6}{90} \approx 6{,}7\,\%\). - Ein Test erkennt eine Krankheit in 95 % der Fälle. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei zwei Kranken mindestens einmal anschlägt?
Lösung
\(1-0{,}05^2 = 0{,}9975\).
Weiterführende Aufgaben
- Zeichne das Baumdiagramm für dreimaliges Münzwerfen. Wie viele Pfade gibt es, und wie viele führen zu „genau zweimal Kopf“?