Punktsymmetrie
- Was passiert bei einer Drehung um \(180^\circ\)?
- Welche Figuren sind punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch?
Punktsymmetrie
Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie durch die Spiegelung an einem Punkt, dem sogenannten Symmetriepunkt oder Symmetriezentrum, auf sich selbst abgebildet wird.
Es handelt sich um eine Drehung der Figur um 180°.
Punktsymmetrische Figuren
Die jeweils rot gekennzeichneten Punkte sind die Symmetriepunkte der Figuren.
Parallelogramm
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten parallel zueinander liegen.
Kreis
Ein Kreis ist eine geschlossene Linie um einen Mittelpunkt \(M\). Alle Punkte auf der Linie haben den gleichen Abstand/Radius zum Mittelpunkt.
Punktsymmetrie bei Funktionen
Beispiel
Die Funktion \(f\left(x\right)=\left(x-2\right)^3-1\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \(P(2|-1)\), da
$$f(2-x)-(-1)=(2-x-2)^3-1+1=-x^3$$und
$$-f(2+x)+(-1)=-((2+x-2)^3-1)+(-1)=-(x^3-1)-1=-x^3+1-1=-x^3$$ist.
Ein Spezialfall ist die Punktsymmetrie am Ursprung, also für \(P=(0,0)\). Die Gleichung vereinfacht sich, dann zu:
$$f(0-x)-0=-f(0+x)+0\Rightarrow\ f(-x)=-f(x)$$Punktspiegelung
Um eine beliebige Figur \(F\) an einem Punkt \(P\) zu spiegeln, werden nacheinander alle charakteristischen Punkte an \(P\) gespiegelt und schließlich entsprechend der Gestalt von \(F\) verbunden.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Punktsymmetrie
- Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um \(180^\circ\) um einen bestimmten Punkt wieder genauso aussieht.
- Dieser Punkt heißt Symmetriezentrum. Er liegt genau in der Mitte zwischen jedem Punkt und seinem Bildpunkt.
- Beispiele: Parallelogramm, Raute, Rechteck, Kreis, die Ziffer 8 und die Buchstaben N, S, Z.
- Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch – daran lässt sich der Unterschied gut zeigen.
- Prüfen kann man durch Drehen: Papier auf den Punkt legen, mit dem Stift festhalten und eine halbe Umdrehung drehen.
- Im Koordinatensystem gilt bei Spiegelung am Ursprung: aus \(P(x|y)\) wird \(P'(-x|-y)\).
Aufgaben
- Ist ein Trapez punktsymmetrisch? Ein Parallelogramm?
Lösung
Ein allgemeines Trapez nicht, ein Parallelogramm ja. - Spiegle \(A(2|5)\) am Ursprung.
Lösung
\(A'(-2|-5)\). - Nenne drei Verkehrszeichen oder Logos, die punktsymmetrisch sind.
Lösung
Z. B. das Recycling-Zeichen, viele Windrad-Symbole, die Spielkarten-Bildkarten.
Weiterführende Aufgaben
- Zeichne eine Figur, die beides ist: achsen- und punktsymmetrisch. Was haben solche Figuren gemeinsam?