Notwendige und hinreichende Bedingungen

Notwendige und hinreichende Bedingungen beschreiben in der Mathematik, ob aus einer Aussage eine andere Aussage folgt.

• Um dich bei Serlo anzumelden, ist es eine notwendige Bedingung, dich registriert zu haben. (Es ist unmöglich sich anzumelden ohne einmalige Registrierung.)

• Das Team von Serlo zu besuchen ist eine hinreichende Bedingung dafür, coole Leute kennenzulernen. (Es ist ausreichend, du kannst aber auch woanders coole Leute kennenlernen.)

Hinreichende Bedingung

Notwendige Bedingung

Es gilt:

„Wenn …, dann …“ - Form

Notwendige und hinreichende Bedingungen kann man (wie oben schon gemacht) in die „Wenn …, dann …“ - Form bringen. Oft ist die Aussage dann klarer. Die beiden obigen Beispiele sind dann:

1. „Es hat geregnet“, ist hinreichende Bedingung für „Die Straße ist nass.“    \(\Rightarrow\) Wenn es geregnet hat, dann ist die Straße nass.

2. „Der Vogel ist schwarz“, ist notwendige Bedingung für „Der Vogel ist ein Rabe.“ \(\Rightarrow\) Wenn der Vogel ein Rabe ist, dann ist er schwarz.

Die Umkehrung eines Satzes nennt man Kehrsatz. Dieser ist oft nicht wahr. Die Kehrsätze zu den obigen Beispielen sind dann:

1. Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet.

2. Wenn der Vogel schwarz ist, dann ist er ein Rabe.

Hinreichend und notwendige Bedingungen

Ist eine Bedingung \(A\) sowohl notwendig als auch hinreichend für eine Aussage \(B\), also \(A\Rightarrow B\) und \(B\Rightarrow A\), so spricht man von einer äquivalenten Bedingung. Schreibt man eine äquivalente Bedingung in die „Wenn …, dann …“ - Form, dann ist auch der Kehrsatz wahr.

Man schreibt dann: \(A\Leftrightarrow B\).

Die übliche Sprechweise ist dann: „Aussage \(A\) genau dann, wenn Aussage \(B\)“.

Beispiel:

„Alle Seiten eines Vierecks sind gleich lang“ ist eine hinreichende Bedingung für „Das Viereck ist eine Raute“.

Tatsächlich stimmt hier auch die Umkehrung: „Wenn ein Viereck eine Raute ist, dann sind alle Seiten des Vierecks gleich lang“. Damit ist die Bedingung „Alle Seiten eines Vierecks sind gleich lang“ hinreichend und notwendig für die Aussage „Das Viereck ist eine Raute“. Man kann also sagen: Die Seiten eines Vierecks sind alle gleich lang, genau dann, wenn das Viereck eine Raute ist.

Beispiele aus der Mathematik

1. „Alle Seiten eines Vierecks sind gleich lang“, ist eine notwendige Bedingung für „Das Viereck ist ein Quadrat.“ \(\Rightarrow\) Wenn das Viereck ein Quadrat ist, dann sind alle Seiten gleich lang. Die Umkehrung des Satzes stimmt nicht: „Wenn die Seiten eines Vierecks gleich lang sind, dann ist es ein Quadrat.“ Auch bei einer Raute sind alle Seiten gleich lang.

2. Der 1. Strahlensatz ist eine „genau dann, wenn“ - Aussage, während der 2. Strahlensatz „nur“ eine hinreichende Aussage ist.

3. Der Satz des Pythagoras ist eine äquivalente Aussage.