Komposition von Funktionen

Die Komposition oder Verkettung von Funktionen wird \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) bezeichnet.

Eine weitere Formulierung ist "f nach g" oder "f von g von x".

Beispiel:

Sei \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=x+1\).

Dann ist \((f\circ g)(x)=f(x+1)=(x+1)^2\).

Weitere Beispiele

In diesem Video wird die Komposition bzw. die Verkettung von Funktionen anhand von 10 Beispielen erklärt.

Eigenschaften

Assoziativität

Die Komposition von Funktionen ist assoziativ. Das heißt für Funktionen f, g und h gilt:

\((\mathrm f\circ\mathrm g)\circ\mathrm h=\mathrm f\circ(\mathrm g\circ\mathrm h)\;\)

Beweis:

\(\begin{array}{l}((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x)))\\(f\circ(g\circ h))(x)=f(g\circ h)(x)=f(g(h(x)))\end{array}\)

Beispiel:

Sei \(f(x)=x^{3\;}\) und \(\;g(x)=x+4\;\) und \(\;h(x)=x-1\) ,

dann ist: \((\mathrm f\circ\mathrm g)\circ\mathrm h=(\mathrm f(x+4))\circ(x-1)=(x+4)^3\circ(x-1)=((x-1)+4)^3=(x+3)^3\;\)

\(\;\mathrm f\circ(\mathrm g\circ\mathrm h)=f\circ(g(x-1)=x^3\circ((x+4)\circ(x-1))=x^3\circ((x-1)+4)=x^3\circ(x+3)=(x+3)^3\;\)

Keine Kommutativität

Kompositionen von Funktionen sind im Allgemeinen nicht kommutativ.

Als Gegenbeispiel kann \(\text{f(x)\;=\;x}^2\) und\(\;\mathrm g(\mathrm x)\;=\;\mathrm x+1\) gewählt werden:

\((f\circ g)(x)=f(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1\) aber

\((g\circ f)(x)=g(x^2)=x^2+1\)

Offensichtlich sind \((f\circ\;g)(x)=x^2+2x+1\) und \((g\circ f)(x)=x^2+1\) verschieden, also ist die Komposition nicht kommutativ.

Ableiten und Integrieren von verketteten Funktionen

Die Verkettung von Funktionen beeinflusst auch das Änderungsverhalten, sodass die Ableitung mit der Kettenregel und die Integration durch die Substitution erfolgen muss.