Integration durch Substitution
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Um verkettete Funktionen abzuleiten, nutzt du die Kettenregel.
Diese Regel lässt sich so anwenden, dass es eine Integrationstechnik ist:
$$\int\limits_a^bf\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\mathrm{dx}=\int\limits_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)\mathrm{dz}$$Voraussetzungen
Wenn in einem Integral die Verknüpfung von zwei Funktionen (also irgendeine Art \(f(g(x))\)) steht, kann eine Substitution das Integrieren vereinfachen.
Im Idealfall ist der Integrand sogar schon eine verkettete Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion, also \(f(g(x))\cdot g'(x)\).
Vorgehen
Form betrachten
Gegeben ist ein Integral der Form \(\int f\left(g\left(x\right)\right)\cdot h\left(x\right)\mathrm{dx}\), wobei \(h\left(x\right)\) auch in Zusammenhang mit \(f\)und \(g\) stehen oder gleich 1 sein kann.
Substituieren eines Ausdrucks
Man ersetzt einen geeigneten Ausdruck durch eine neue Variable \(z\). Meistens nimmt man hier die innere der verknüpften Funktionen \(g\left(x\right)\),
Da wir nun über unsere neue Variable \(z\) integrieren wollen, müssen wir auch \(\mathrm{dx}\) in Abhängigkeit von \(\mathrm{dz}\) ausdrücken.
Hilfsschritt 1
Man leitet die Seite der Substitution, in der unsere neue Substitutionsvariable \(z\) vorkommt, nach \(z\) ab. Um zu signalisieren, dass dieser Teil der Gleichung \(z\) charakterisiert, multipliziert man mit \(\mathrm{dz}\).
Die andere Seite leitet man nach der ursprünglichen Variable \(x\) ab. Hier multipliziert man mit \(\mathrm{dx}\).
Hilfsschritt 2
Die Gleichung wird nun nach \(\mathrm{d}x\) aufgelöst.
Einsetzen
Man setzt den Ausdruck aus Hilfsschritt \(2\) für \(dx\) ein.
Wenn sich alle \(x\) rauskürzen, ist die Substitution erfolgversprechend; andernfalls hilft es höchstens, die Gleichung aus dem ersten Schritt nach \(x\) aufzulösen und einzusetzen. Meistens deutet dies jedoch darauf hin, dass der Lösungsansatz nicht weiterhilft.
Es gibt nun zwei Möglichkeiten, fortzufahren.
1. Möglichkeit: Integralgrenzen substituieren
Die Integralgrenzen \(0\) und \(1\) werden durch \(g\left(0\right)\) und \(g\left(1\right)\) ersetzt.
2. Möglichkeit: Resubstitution
Integralgrenzen beibehalten und nach der Integration \(z\) durch \(x^3+1\) ersetzen (= resubstituieren).