Regel von L'Hospital

Die Regel von de L'Hospital ist ein Hilfsmittel zum Berechnen von Grenzwerten bei Brüchen \(\frac{f}{g}\) von Funktionen \(f\) und \(g\).

Die Regel kann nur angewendet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

• Zähler und Nenner gehen entweder beide gegen \(0\) oder beide gegen + oder - unendlich
• Der Grenzwert des Bruchs der Ableitungen \(\displaystyle\lim _{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) existiert.

Die Regel sagt dann:

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Voraussetzung

Die Regel von L'Hospital kann man anwenden, wenn eine dieser Bedingungen erfüllt ist:

Anwendung

Dieses Verfahren ermöglicht oft die Bestimmung von Grenzwerten, bei denen zunächst keine Aussage möglich ist.

Beispiel 1

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{5x}}\)

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen \(f(x)=x\) und \(g(x)=e^{5x}\). Da

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\text{ und }\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty.$$

ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt:

$$f'(x)=1$$$$g'(x)=5e^{5x}$$

Durch Anwendung der Regel von l'Hospital kann der Grenzwert \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{5x}}\) berechnet werden über:

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{5x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\overbrace{\frac{1}{5e^{5x}}}^{\rightarrow 1}}_{\rightarrow +\infty}=0$$

Beispiel 2: mehrmalige Anwendung der Regel

\(\displaystyle\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{x^2}{e^x}\)

Der Grenzwert ist ein Bruch der zwei Funktionen \(f(x) =x^2\) und \(g(x) = e^x\). Berechnung ergibt

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\text{ und }\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty.$$

Dadurch ist zunächst keine Aussage möglich ist, jedoch sind die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

Zur Anwendung der Regel von L'Hospital benötigt man die Ableitungen der beiden Funktionen.

$$f'(x)=2x$$$$g'(x) = e^x$$

Nach der Regel von L'Hospital wird jetzt der Grenzwert des Bruches der Ableitungen betrachtet.

$$\lim_{x \to \infty} 2x = \infty \text{ und } \lim_{x \to \infty} e^x = \infty.$$

Es ist also weiterhin keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen der Regel von L'Hospital erfüllt.

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x}$$

Man leitet die Funktionen also ein weiteres Mal ab …

$$f''(x)=2$$$$g''(x) = e^x$$

… und betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Berechnung ergibt den Grenzwert 0, da

$$\lim_{x \to \infty} e^x = \infty.$$

Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x}=0$$

Nach der Regel von L'Hospital entspricht der berechnete Grenzwert dem ursprünglichen.

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f''(x)}{g''(x)}=0$$

Beispiel 3

Wenn der Quotient der Ableitungen keinen Grenzwert hat, sagt das nichts über den ursprünglichen Grenzwert aus. Als Beispiel kannst du diesen Grenzwert nehmen:

$$\lim_{x\to \infty}\dfrac{2x+\sin x}{2x+\cos x}$$

Mit der Strategie, durch den am stärksten wachsenden Term des Nenners zu kürzen, kannst du den Grenzwert berechnen:

$$\lim_{x\to \infty}\dfrac{2x+\sin x}{2x+\cos x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2+\overbrace{\frac{\sin x}{x}}^{\to 0}}{2+\underbrace{\frac{\cos x}{x}}_{\to 0}}=\dfrac{2}{2}=1$$

Wenn du nun versuchst, die Regel von L'Hospital anzuwenden, erhältst du als Quotient der Ableitungen \(\dfrac{2+\cos x}{2-\sin x}\). Dies ist eine \(2\pi\)-periodische Funktion, die nicht konstant ist und deshalb keinen Grenzwert hat.

(Z. B. wird ja für \(x=2k\pi\) jeweils der Wert \(\dfrac{3}{2}\) und für \(x=(2k+1)\pi\) der Wert \(\dfrac{1}{2}\) angenommen.)

Du siehst hier, dass du auf die Voraussetzung, dass der Quotient der Ableitungen einen Grenzwert hat, nicht verzichten darf .