Kugeln in der analytischen Geometrie
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Die Koordinaten des Kugelmittelpunktes \(M\) und der Kugelradius \(r\) definieren eine Kugel im Raum. Die Oberfläche der Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte \(X\), die vom Mittelpunkt \(M\) den gleichen Abstand \(r\) haben.
Herleitung der Koordinantegleichung der Kugel
Der Vektor \(\overrightarrow{MX}=\vec x-\vec m\) hat demnach immer den Betrag r.
Äquivalent dazu ist die Gleichung
\(K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2\)
oder
\(K:\ (\vec{x}-\vec{m})\circ (\vec{x}-\vec{m})=r^2\)
Die Kugelgleichung kann auch als Koordinatengleichung angegeben werden:
\(K:\ (\vec{x}-\vec{m})\circ (\vec{x}-\vec{m})=r^2\;\;\Rightarrow\;\;\left(\begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} m_1 \\m_2 \\ m_3 \end{pmatrix}\right)^2=r^2\)
\(K:\ \begin{pmatrix} x_1-m_1 \\x_2-m_2 \\ x_3-m_3 \end{pmatrix}^2=r^2\;\;\Rightarrow\;\;\begin{pmatrix} x_1-m_1 \\x_2-m_2 \\ x_3-m_3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} x_1-m_1 \\x_2-m_2 \\ x_3-m_3 \end{pmatrix}=r^2\)
Nach Berechnung des Skalarproduktes erhältst du die Koordinatengleichung der Kugel.
$$K:\ (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2=r^2$$