Ganze Zahlen
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Die Menge der ganzen Zahlen enthält alle natürlichen Zahlen, die Null und alle negativen Gegenzahlen der natürlichen Zahlen. Für ganze Zahlen verwendet man den Buchstaben \(\mathbb{Z}\). Die Zahlenmenge kann folgendermaßen beschrieben werden:
$$\mathbb{Z}={\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}}$$Man kann die ganzen Zahlen an der Zahlengeraden veranschaulichen.
Rechenvorteile durch Anwendung von Rechengesetzen
Kommutativgesetz
Für die Addition und Multiplikation ganzer Zahlen gilt das Kommutativgesetz. Das heißt, du kannst die Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren beliebig vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert.
Beispiel 1 (Addition)
Beispiel 2 (Multiplikation)
Das Kommutativgesetz hilft dir Rechnungen zu vereinfachen. Im Beispiel gerade eben lässt sich \((-25) \cdot (-4)\) viel leichter berechnen als \((-25) \cdot 17\).
Assoziativgesetz
Für die Addition und Multiplikation ganzer Zahlen gilt das Assoziativgesetz. Das heißt, du kannst die Reihenfolge, in der du die einzelnen Summanden bzw. Faktoren miteinander verrechnest, frei wählen.
Merke: Das Assoziativgesetz gilt nur bei reiner Addition und Multiplikation.
Beispiel 1 (Addition)
Das Assoziativgesetz kannst du nutzen, um vorteilhaft zu rechnen. Im Beispiel gerade eben lässt sich \(\bigl(7+(-7)\bigr)\) leichter berechnen als \((17 +7)\).
Beispiel 2 (Multiplikation)
Distributivgesetz
Das Distributivgesetz erlaubt dir, Klammern in Rechnungen "aufzulösen".
Beispiel 1
Du kannst das Distributivgesetz auch verwenden, um Klammern zu "erstellen". Dies machst du ganz unbewusst, wenn du eine zweistellige Zahl mit einer anderen multiplizierst.