Dreiecksberechnung mit Sinus- und Kosinussatz

Um ein Dreieck zu berechnen, braucht man (mindestens) drei Größen. Hier sind die Möglichkeiten zusammengestellt:

• SSS Drei Seiten
• SWS Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
• SSW Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel
• WSW Zwei Winkel und eine Seite

Hilfsmittel

• Die Winkelsumme im Dreieck ist \(180^\circ\)
• Sinussatz
• Kosinussatz

In den Skizzen sind die bekannten Größen in blau und die gesuchten in rot eingezeichnet

SSS Drei Seiten

1) Berechne einen Winkel mit dem Kosinussatz.

2) Den zweiten Winkel kannst du mit dem Kosinussatz oder (einfacher) mit dem Sinussatz berechnen.

3) Den dritten Winkel erhältst du aus der Winkelsumme.

Beispiel

Gegeben sind die Seiten \(a=4\text{ cm}\), \(b=5\text{ cm}\) und \(c=7\text{ cm}\).

1) Berechne z.B. \(\cos (\alpha)\) durch den Kosinussatz:

\(\displaystyle\cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\,b\,c}=\frac{5^2+7^2-4^2}{2\cdot5\cdot7}=\frac{58}{70}\)

Dann ist \(\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{58}{70}\right)=34,05^\circ\).

2) Berechne \(\beta\) mit dem Sinussatz:

\(\displaystyle\sin(\beta)=\frac{b}{a}\sin(\alpha)=\frac{5}{4}\cdot0,56=0,70 \)

Dann ist \(\beta=\sin^{-1}(0,70)=44,42^\circ\)

Hinweis: der andere mögliche Wert für \(\beta\), \(180^\circ-44,42^\circ=135,58^\circ\), kommt nicht infrage, weil das dann sicher der größte Winkel wäre, und nach dem Sinussatz dem größten Winkel die größte Seite gegenüberliegt. \(b\) ist aber nicht die größte Seite.

3) \(\gamma \) erhältst du über die Winkelsumme:

\(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-34,05^\circ-44,42^\circ=101,53^\circ\)

Hinweis: Da bei diesen Rechnungen mehrfach gerundet wird, sind die Ergebnisse nicht sehr genau. Das gilt auch in den anderen Beispielen.

SWS Zwei Seiten und der Winkel dazwischen

1) Berechne die fehlende Seite mit dem Kosinussatz.

2) Berechne einen zweiten Winkel mit dem Sinussatz.

3) Berechne den dritten Winkel über die Winkelsumme.

Beispiel

Gegeben sind die Seiten \(b=5\text{ cm}\), \(c=8\text{ cm}\) und \(\alpha=60^\circ\).

1) Berechne \(a\) durch den Kosinussatz:

\(a^2=b^2+c^2-2\,b\,c \cos (\alpha)=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot\cos(60^\circ)=89-80\cdot\frac{1}{2}=49\)

Also ist \(a=\sqrt{49}\text{ cm} =7\text{ cm}\)

2) Berechne z.B. den Winkel \(\beta\) mit dem Sinussatz:

\(\displaystyle\sin(\beta)=\frac{b}{a}\sin(\alpha)=\frac{5}{7}\sin(60^\circ)\)

Dann ist \(\beta=\sin^{-1}\left(\dfrac{5}{7}\sin(60^\circ) \right)=38,21^\circ\) oder \(\beta=141,79^\circ\). Dieser zweite Wert ist wegen der Winkelsumme unmöglich.

3) Berechne \(\gamma\) über die Winkelsumme:

\(\gamma=180^\circ-60^\circ-38,21^\circ=81,79^\circ\)

SSW Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel

1) Bestimme den anderen Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt (in der Skizze \(\gamma\)), mit dem Sinussatz.

2) Bestimme den dritten Winkel mit der Winkelsumme.

3) Bestimme die dritte Seite mit dem Sinussatz.

Achtung! Es ist möglich, dass es im ersten Schritt zwei, eine oder keine Lösung der Gleichung gibt! Eventuell musst du bei zwei Lösungen weitere Informationen verwenden.

Wenn die Seite, die an den Winkel angrenzt, kürzer ist als die andere, gibt es auf alle Fälle nur eine Lösung.

Beispiel 1

Gegeben sind die Seiten \(a=1\text{ cm}\), \(c=2\text{ cm}\) und \(\alpha=90^\circ\).

1) Dann ist \(\displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{2}{1}\cdot 1=2\).

Dies ist unmöglich, so ein Dreieck gibt es nicht.

Beispiel 2

Gegeben sind die Seiten \(a=2\text{ cm}\), \(c=1\text{ cm}\) und \(\alpha=90^\circ\).

1) Dann ist mit dem Sinussatz \(\displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}\).

Damit ist \(\gamma=30^\circ\) oder \(\gamma=150^\circ\). Dieser zweite Wert ist aber unmöglich, da die Winkelsumme \(180^\circ \) ist und \(\alpha=90^\circ\) schon bekannt ist.

2) Mit der Winkelsumme ist \(\beta=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\).

3) Mit dem Sinussatz ist \(\displaystyle b=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha) }\cdot a =\frac{\sin(60^\circ)}{\sin(90^\circ)}\cdot2\text{ cm}=1,73\text{ cm}\).

Beispiel 3

Gegeben sind die Seiten \(a=2\text{ cm}\), \(c=3\text{ cm}\) und \(\alpha=30^\circ\).

1) Dann ist mit dem Sinussatz \(\displaystyle\sin(\gamma)=\frac{c}{a}\sin(\alpha)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}=0,75\).

Damit ist \(\gamma=\sin^{-1}(0,75)=48,59^\circ\) oder \(\gamma=180^\circ-48,59^\circ=131,41^\circ\).

Diesmal gibt es also zwei mögliche Werte: \(\gamma_1=48,59^\circ\) und \(\gamma_2=131,41^\circ\)

2) Mit der Winkelsumme ist

\(\beta_1=180^\circ-30^\circ-48,59^\circ=101,41^\circ\) und

\(\beta_2=180^\circ-30^\circ-131,41^\circ=18,59^\circ\).

3) Mit dem Sinussatz ist

\(\displaystyle b_1=\frac{\sin(\beta_1)}{\sin(\alpha) }\cdot a =\frac{0,98}{0,5}\cdot2\text{ cm}=3,92\text{ cm}\) und

\(\displaystyle b_2=\frac{\sin(\beta_2)}{\sin(\alpha) }\cdot a=\frac{0,32}{0,5}\cdot2\text{ cm}=1,28\text{ cm}\)

WSW Eine Seite und zwei Winkel

1) Berechne den dritten Winkel mit der Winkelsumme

2) + 3) Berechne die anderen Seiten mit dem Sinussatz.

Beispiel

Gegeben sind \(\alpha=45^\circ\), \(\beta=105^\circ\) und \(c=2\text{ cm}\).

1) Dann ist mit der Winkelsumme \(\gamma=180^\circ-45^\circ-105^\circ=30^\circ.\)

2) + 3) Mit dem Sinussatz werden die anderen Seiten berechnet:

\(\displaystyle a=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\cdot c =\frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}\cdot2\text{ cm}=2,83\text{ cm}\)

\(\displaystyle b=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\cdot c =\frac{\sin(105^\circ)}{\sin(30^\circ)}\cdot2\text{ cm}=3,86\text{ cm}\)