Determinante
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Die Determinante ist eine Eigenschaft von quadratischen Matrizen und ist gegeben durch eine reelle Zahl.
Geläufige Schreibweise für die Determinante einer Matrix \(A=\begin{pmatrix}1&8\\5&9\end{pmatrix}\) sind:
\(\det\left(A\right)=\det\begin{pmatrix}1&8\\5&9\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}1&8\\5&9\end{vmatrix}\)
Determinante berechnen
Es gibt verschiedene Arten eine Determinante zu berechnen, für quadratische Matrizen der Größe \(n=3\) zum Beispiel die Regel von Sarrus oder allgemein den Laplaceschen Entwicklungssatz. Diese findest du in dem Artikel Determinante berechnen.
Eigenschaften
- Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix hat die folgenden Eigenschaften:
Man kann also einen Faktor \(\lambda\) aus der Determinante „ausklammern“, indem man es „hoch \(n\)“ nimmt.
- Hat eine Zeile oder eine Spalte von \(A\) nur Nullen \(\Rightarrow \det(A) = 0\)
- Sind die Zeilen oder die Spalten von A linear abhängig (wenn man sie als Vektoren sieht) \(\Rightarrow \det(A) = 0\)
- Ist \(A\) eine Diagonalmatrix mit der Form \(\begin{pmatrix}{\mathrm\lambda}_1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&{\mathrm\lambda}_\mathrm n\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\;\;\det\;(\mathrm A)={\mathrm\lambda}_1\cdot\cdots\cdot{\mathrm\lambda}_\mathrm n\)
- Ist \(A\) eine obere/untere Dreiecksmatrix (nur die Zahlen im oberen/unteren Dreieck \(\neq 0\))
\(\begin{pmatrix}{\mathrm\lambda}_1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{ii}&\cdots&{\mathrm\lambda}_\mathrm n\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\;\;\det\;(\mathrm A)={\mathrm\lambda}_1\cdot\cdots\cdot{\mathrm\lambda}_\mathrm n\)
Wozu braucht man Determinanten?
Determinante sind für die Mathematik sehr nützlich. Man kann mit ihnen
aber vor allem helfen sie, die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu untersuchen.
Gilt für eine \(n\times n\)- Matrix \(A: \det A \neq 0\), so hat jedes lineare Gleichungssystem, welches \(A\) als Koeffizientenmatrix hat, eine eindeutige Lösung.