Bruchterme

Unter einem Bruchterm versteht man einen Term, welcher aus einem oder mehreren Brüchen besteht, wobei die gesuchte Variable in mindestens einem Nenner vorkommt.

Mit Bruchtermen kann man wie mit normalen Brüchen rechnen.

Allgemeines zur Definitionsmenge

Bevor du beginnst, mit Bruchtermen zu rechnen, solltest du deren Definitionsmenge bestimmen, da sich diese durch deine Rechnungen verändern kann.

Wie du bereits weißt, ist es verboten, durch die Zahl \(0\) zu teilen. Deshalb musst du untersuchen, für welche Zahlen der Nenner deines Bruchs \(0\) wird. Diese Zahlen werden dann aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.

Beispiel

Betrachte bspw. den Term \(T(x)=\frac{10}{x-5}\). Da die gesuchte Variable \(x\) im Nenner des Bruchs vorkommt, ist dieser Term ein Bruchterm. Der Nenner dieses Terms nimmt für \(x=5\) den Wert \(0\) an. Dieser Wert ist also die Definitionslücke dieses Bruchterms. Folglich ist die Definitionsmenge \(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{5\}\).

Erweitern

Bruchterme kannst du genauso erweitern wie Brüche, wobei du bei Bruchtermen nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit Termen erweitern kannst.

Beispiel

Betrachte den Bruchterm \(\dfrac{3}{x}\). Die Definitionsmenge dieses Bruchterms ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\).

Jetzt erweitere den Bruchterm mit \(x-1\).

$$\displaystyle\frac{3}{x}=\frac{3\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}$$

Hier wurden der Nenner \(x\) und der Zähler \(3\) jeweils mit \(x-1\) multipliziert.

Der Bruchterm \(\frac{3\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}\) hat als Definitionsmenge \(D=\mathbb{Q}\backslash\{0,1\}\), da weder \(0\) noch \(1\) in den Nenner eingesetzt werden dürfen, denn sonst wäre der Nenner gleich \(0\).

Kürzen

Bruchterme kannst du genauso kürzen wie Brüche, wobei du hier nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit Termen kürzen darfst.

Beispiel

Betrachte den Bruchterm:

$$\displaystyle\frac{(x+1)\cdot(x+2)}{x\cdot(x+1)}$$

Die Definitionsmenge von diesem Bruchterm ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0,-1\}\).

Als Nächstes wird \((x+1)\) gekürzt:

$$\displaystyle\frac{(x+1)\cdot(x+2)}{x\cdot(x+1)}=\frac{x+2}{x}$$

Hier wurde der Nenner \((x+1)\cdot(x+2)\) und der Zähler \(x\cdot(x+1)\) durch \((x+1)\) geteilt.

Wenn man nun von \(\frac{x+2}{x}\) die Definitionsmenge bestimmen würde, dann wäre diese \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Die Definitionsmenge wird aber von vor dem Kürzen beibehalten und ist somit \(D=\mathbb{Q}\setminus\{0,-1\}\).

Addieren und Subtrahieren

Beispiel

Betrachte die beiden Bruchterme \(\dfrac{3}{x}\) und \(\dfrac{5}{x+1}\).

Die Summe dieser beiden Bruchterme ist:

Subtrahierst du die beiden Bruchterme, erhältst du:

Multiplizieren

Beispiel

Du hast die beiden Bruchterme \(\displaystyle\frac{8}{x}\) und \(\displaystyle\frac{2}{x+1}\).

• Die Definitionsmenge von \(\displaystyle\frac{8}{x}\) ist \(D=\mathbb{Q}\backslash\{0\}\).
• Die Definitionsmenge von \(\displaystyle\frac{2}{x+1}\) ist \(D=\mathbb{Q}\backslash\{-1\}\).

Dann ist ihr Produkt:

$$\displaystyle\frac{8}{x}\cdot\displaystyle\frac{2}{x+1}=\displaystyle\frac{8\cdot2}{x\cdot(x+1)}=\frac{16}{x\cdot(x+1)}$$

mit der Definitionsmenge \(D=\mathbb{Q}\backslash\{0, -1\}\).

Dividieren

Beispiel

Du hast die beiden Brüche \(\displaystyle\frac{x}{x-5}\) und \(\displaystyle\frac{x}{x+1}\). Betrachte die Division:

$$\displaystyle\frac{x}{x-5}:\frac{x}{x+1}$$

• Die Definitionsmenge von \(\displaystyle\frac{x}{x-5}\) ist \(D=\mathbb{Q}\setminus\{5\}\).
• Die Definitionsmenge von \(\displaystyle\frac{x}{x+1}\) ist \(D=\mathbb{Q}\backslash\{-1\}\).
• Die Definitionsmenge von \(\displaystyle\frac{x+1}{x}\), der Kehrbruch von \(\displaystyle\frac{x}{x+1}\), ist \(D=\mathbb{Q}\backslash\{0\}\).

Folglich ist die Definitionsmenge von

$$\displaystyle\frac{x}{x-5}:\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x-5}\cdot\frac{x+1}{x}=\frac{x+1}{x-5}$$

durch \(D=\mathbb{Q}\backslash\{-1,0,5\}\) gegeben.