Äquivalente Gleichungen

Gleichungen sind äquivalent (=gleichwertig) zueinander, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen. Häufig kann durch Umformen zu einer äquivalenten Gleichung (Äquivalenzumformungen) die Lösungsmenge ermittelt werden.

Beispiele für äquivalente Gleichungen

• \(x+2=3\) und \(x\ =\ 1\) besitzen beide die Lösungsmenge \(L=\left\{1\right\}\) und sind deshalb äquivalent.
• \(5=3\) und \(x^2=-1\) haben über der Grundmenge \(G=\mathbb Q\) beide keine Lösung (\(L=\left\{\right\}\)) und sind deshalb äquivalent.
• \(x-2=0\) mit der Lösungsmenge \(L=\left\{2\right\}\) und \(\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0\) mit der Lösungsmenge \(L=\left\{-2;2\right\}\) sind nicht äquivalent, da die Lösungsmengen nicht identisch sind, sondern lediglich ein Element gemeinsam haben.