Ähnlichkeit: vergrößern und verkleinern

Ähnlichkeit

• Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in allen Winkeln übereinstimmen und alle Längen im selben Verhältnis \(k\) stehen. \(k\) heißt Streckfaktor oder Maßstab.
• Bei Dreiecken genügt es, wenn zwei Winkel übereinstimmen – dann stimmt der dritte von selbst.
• Die entscheidende Regel: Längen wachsen mit \(k\), Flächen mit \(k^2\), Volumen mit \(k^3\).
• Beispiel: Verdoppelt man alle Maße eines Würfels, wird die Oberfläche viermal und das Volumen achtmal so groß. Das erklärt, warum große Tiere dickere Knochen brauchen als kleine.
• Zentrische Streckung: Von einem Zentrum aus werden alle Punkte um den Faktor \(k\) weiter nach außen (oder innen) verschoben.
• Anwendungen: Karten und Modelle, Fotos vergrößern, Strahlensätze, indirekte Längenmessung.

1. Ein Rechteck \(3\,\mathrm{cm}\times 5\,\mathrm{cm}\) wird mit \(k=4\) vergrößert. Umfang und Fläche?
   Lösung

   Umfang viermal so groß (16 → 64 cm), Fläche 16-mal (15 → 240 cm²).
2. Zwei ähnliche Dreiecke haben die Seiten 6 cm und 9 cm. Wie groß ist \(k\), und wie verhalten sich die Flächen?
   Lösung

   \(k = 1{,}5\); Flächen wie \(1:2{,}25\).
3. Ein Modellauto im Maßstab \(1:18\) ist 24 cm lang. Wie lang ist das Original?
   Lösung

   \(24\cdot 18 = 432\,\mathrm{cm} = 4{,}32\,\mathrm{m}\).

1. Warum kann ein Insekt sein Vielfaches an Gewicht tragen, ein Elefant aber nicht? Erkläre mit \(k^2\) und \(k^3\).