Mittelwert, Median und Spannweite

Der Median oder Zentralwert ist ein Mittelwert der Statistik. Er ist damit eine Alternative zum arithmetischen Mittel.

Beispiel

Finde Median der Zahlen \(\;30,\;\;7,\;\;5,\;\;24,\;\;14,\;\;18,\;\;4,\;\;500,\;27,\;1,\;19\;\)

Zunächst ordnen wir Zahlen nach der Größe:

Nun streichen wir jedes Mal die äußeren zwei Werte weg:

\(\begin{array}{cccccccc}\;\cancel{1},\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;\;27,\;\;30,\;\;\cancel{500}\;\\\phantom{\;\;1,\;}\;\cancel{4},\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;\;27,\;\;\cancel{30}\phantom{,\;\;500\;}\\\phantom{\;1,\;\;4,\;\;}\cancel{5},\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;\;\cancel{27}\phantom{,\;\;30,\;\;500\;}\\\phantom{\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;}\cancel{7},\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;\cancel{24}\phantom{,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;}\\\phantom{\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;}\cancel{14},\;\;18,\;\;\cancel{19}\phantom{,\;\;24,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;}\\\phantom{\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;}18\phantom{,\;\;19,\;\;24,\;\;27,\;\;30,\;\;500\;}\end{array}\)

Also ist \(18\) der Median der Zahlen \(\;1,\;\;4,\;\;5,\;\;7,\;\;14,\;\;18,\;\;19,\;\;24,\;27,\;30,\;500\;\).

Berechnung   

Wenn man also eine ungerade Anzahl an Zahlen oder Werten hat, so kann man genauso wie in Beispiel 1 vorgehen. Du musst einfach immer den größten und den kleinsten Wert streichen.  Der Median ist dann eindeutig.

Bei einer geraden Anzahl an Zahlen oder Werten bleiben nach dem Durchstreichen der äußeren Zahlen zwei Zahlen  \({\mathrm m}_1\;\mathrm{und}\;{\mathrm m}_2\) in der Mitte übrig.

Dann kann man den Median als arithmetisches Mittel der beiden berechnen:

\(\,\ \mathrm m\;=\;\frac{{\mathrm m}_1+{\mathrm m}_2}2\) .

Übungsaufgaben:

Vergleich mit arithmetischen Mittel

Im Vergleich zum arithmetischen Mittel ist der Median weniger anfällig für Ausreißer (Werte, die entweder extrem groß oder extrem klein im Vergleich zu den restlichen sind). Sehr große und sehr kleine Werte haben also keine Auswirkungen auf den Median.

Zum Beispiel ist der Median von \(1\), \(2\), \(3\) gleich zwei und damit identisch zum arithmetischen Mittel. Wird nun einer der Randwerte noch kleiner bzw. größer, ändert sich der Median nicht. Das arithmetische Mittel kann sich aber stark ändern.

Wird zum Beispiel die \(3\) durch eine \(9\) ersetzt, ist das arithmetische Mittel \(4\) statt \(2\).

Anwendung

Wegen der oben beschriebenen Stabilität wird der Median benutzt, wenn Abweichungen erwartet werden. Bei der Auswertung von Experimenten kommen diese durch Messfehler zum Beispiel oft vor.

Wenn die Messwerte hingegen nahe beieinander liegen, wird das arithmetische Mittel bevorzugt.

Median von Verteilungen

Weiterführend kann man den Median auch für Zufallsvariablen \(X\) und deren Verteilungsfunktion \(F_X\) definieren. In diesem Fall sind Mediane alle Elemente der Menge

\(\{m \in \mathbb{R}\; |\; P(X\le m)\ge\frac12 \text{und}\; P(X\ge m)\ge\frac12 \}\)

Alternativ kann man den Median über die inverse Verteilungsfunktion definieren. In diesem Fall ist \(m=F^{-1}(\frac12)\)