Zinseszins und Wachstumsfaktor

Zinseszins

• Beim Zinseszins bleiben die Zinsen auf dem Konto und werden im nächsten Jahr mitverzinst. Das Kapital wächst dadurch nicht gleichmäßig, sondern immer schneller.
• Jedes Jahr wird mit demselben Wachstumsfaktor \(q = 1+\frac{p}{100}\) multipliziert. Nach \(n\) Jahren gilt \(K_n = K_0\cdot q^{\,n}\).
• Das ist exponentielles Wachstum: Nicht ein fester Betrag kommt hinzu, sondern ein fester Anteil.
• Verdopplungszeit: Die Faustregel \(70 : p\) schätzt sie gut ab – bei \(3{,}5\,\%\) also rund 20 Jahre.
• Dieselbe Formel gilt für Schulden. Genau deshalb wird aus einem kleinen Dispo über Jahre ein großer Betrag – und deshalb steht die Überschuldung im Lehrplan.
• Bei Abnahme ist \(q < 1\): Ein Auto, das jährlich 15 % an Wert verliert, hat nach \(n\) Jahren \(K_0\cdot 0{,}85^{\,n}\).

1. 2 000 € liegen 6 Jahre zu 2,5 %. Endkapital?
   Lösung

   \(2000\cdot 1{,}025^6 \approx 2\,319{,}39\) €.
2. Ein Auto kostet 18 000 € und verliert jährlich 15 % an Wert. Was ist es nach 4 Jahren wert?
   Lösung

   \(18\,000\cdot 0{,}85^4 \approx 9\,396\) €.
3. Nach wie vielen Jahren verdoppeln sich 1 000 € bei 4 %?
   Lösung

   Durch Probieren: \(1{,}04^{18} \approx 2{,}03\) – nach 18 Jahren. Faustregel \(70:4 \approx 17{,}5\).

1. Lege in einer Tabellenkalkulation eine Spalte für 20 Jahre an und vergleiche einfache Verzinsung mit Zinseszins. Ab wann ist der Unterschied deutlich?