Vektoren addieren und subtrahieren

Um Vektoren zu addieren (oder subtrahieren), addierst (oder subtrahierst) du komponentenweise.

Beispiele

1. \(\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{7}\\\textcolor{green}{9}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{1}\\\textcolor{green}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{7+1}\\\textcolor{green}{9+4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{8}\\\textcolor{green}{13}\end{pmatrix}\)
2. \(\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{1}\\\textcolor{green}{2}\\\textcolor{purple}{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{4}\\\textcolor{green}{5}\\\textcolor{purple}{6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{1+4}\\\textcolor{green}{2+5}\\\textcolor{purple}{3+6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{5}\\\textcolor{green}{7}\\\textcolor{purple}{9}\end{pmatrix}\)
3. \(\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{-6}\\\textcolor{green}{5}\\\textcolor{purple}{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{3}\\\textcolor{green}{2}\\\textcolor{purple}{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{-6-3}\\\textcolor{green}{5-2}\\\textcolor{purple}{4-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{-9}\\\textcolor{green}{3}\\\textcolor{purple}{3}\end{pmatrix}\)

Addition von Vektoren

Graphische Darstellung

Vektoren lassen sich als Richtungsanzeigen oder Wegbeschreibungen interpretieren.

Beispiel: \(\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) bedeutet: Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben.

Addierst du Vektoren, "führst du zwei Wegbeschreibungen hintereinander aus".

Beispiel: \(\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\)

\(\textcolor{green}{\vec v}+\textcolor{1794c1}{\vec u}=\textcolor{green}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}+\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}\) bedeutet: Gehe erst 3 nach rechts und 1 nach oben und danach 1 nach links und 2 nach oben.

Anstatt beide Wege nacheinander zu gehen, kannst du aber auch gleich 2 nach rechts und 3 nach oben gehen. Das ist die Summe der Vektoren.

\(\textcolor{green}{\vec v}+\textcolor{1794c1}{\vec u}=\textcolor{green}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}+\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}3&+&(-1)\\1&+&2\end{pmatrix}=\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\)

Zeichenanleitung

Vektoren sind nicht an einem bestimmten Punkt verankert, sondern sind frei im Raum liegende Pfeile.

• Wähle dir einen beliebigen Startpunkt P auf dem Blatt.
• Zeichne den Vektor \(\vec{v}\), indem du vom Startpunkt aus 3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben gehst.
• Die Spitze Q des Vektors \(\vec{v}\) ist der Startpunkt des Vektors \(\vec{u}\). Zeichne \(\vec{u}\), indem du von Q aus 1 Einheit nach links und 2 Einheiten nach oben gehst.
• Den Ergebnisvektor der Addition erhältst du jetzt, indem du einen Pfeil von P nach R zeichnest.

Rechnung

Um \(\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\) zu addieren, muss man nur die x-Werte und die y-Werte zusammen addieren:

\(\vec v+\vec u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&+&(-1)\\1&+&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\)

Subtraktion von Vektoren

Graphische Darstellung

Wie bei der Addition von Vektoren lässt sich die Subtraktion durch die Ausführung mehrerer Wegbeschreibungen vorstellen. Berechnest du für die Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) die Differenz \(\vec v-\vec u\), so gehst du erst den Weg \(\vec{v}\) und dann \(\vec u\) rückwärts.

Beispiel: \(\vec v=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec u=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\)

\(\vec v-\vec u = \textcolor{green}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}-\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}\): Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben und danach statt 1 nach links, 1 nach rechts und statt 2 nach oben, 2 nach unten.

"\(\vec u\) rückwärtszugehen" entspricht auch einer Addition des Gegenvektors von \(\vec u\): \(\textcolor{1794c1}{-\vec{u}}\ =\textcolor{1794c1}{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}\)

Zeichenanleitung

Starte genauso wie bei der Addition:

• Wähle dir einen beliebigen Startpunkt P auf dem Blatt.
• Zeichne den Vektor \(\vec{v}\) genauso wie bei der Addition.
• Zeichne den Gegenvektor von \(\vec{u}\) an die Spitze Q, indem du sowohl das Vorzeichen vom x-Wert als auch vom y-Wert umdrehst.
• Den Ergebnisvektor der Subtraktion erhältst du jetzt, indem du einen Pfeil von P nach R zeichnest.

Rechnung

\(\vec v-\vec u=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-&(-1)\\1&-&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\)