Urnenmodell
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Das Urnenmodell ist eine Denkhilfe in der Kombinatorik, um (mehrstufige) Zufallsexperimente zu modellieren. Es heißt so, weil man sich diese Experimente wie das Ziehen von Kugeln aus einer Urne vorstellt.
Das Modell
In einer Urne befinden sich n Kugeln.
Per Zufall (also ohne dabei zu sehen oder aussuchen) werden k davon herausgezogen.
Bemerkung: Bei manchen Experimenten macht es Sinn, alle Kugeln voneinander unterscheiden zu können. Bei anderen Experimenten ist es nicht so wichtig. Dafür stellt man sich entweder vor,
- dass jede Kugel eine eindeutige Nummer bekommt oder,
- dass jede Kugel eine Farbe hat (die sich aber wiederholen kann).
Verschiedene Experimente mit dem Urnenmodell
Ziehen mit Zurücklegen bzw. ohne Zurücklegen
Wenn man mehr als einmal zieht, so kann das Ziehen auf zwei Arten erfolgen:
Entweder wird die Kugel nach dem Zug wieder in die Urne zurückgelegt (sodass sie beim nächsten Zug wieder ausgewählt werden kann),
oder die Kugel wird nach dem Zug nicht wieder zurückgelegt (sodass sie bei den nächsten Zügen nicht mehr ausgewählt werden kann).
Wichtige Unterschiede
- Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es immer gleich viele Kugeln in der Urne, bevor man eine zieht.
- Beim Ziehen ohne Zurücklegen gibt es nach jedem Ziehen immer eine Kugel weniger. Hier kann also die Urne leer werden, wenn man oft genug zieht.
Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge bzw. ohne Beachtung der Reihenfolge
Wird mehr als ein Mal gezogen, so kann man sich manchmal dafür interessieren, in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden.
Genauso gut kann man sich auch nur für das Endergebnis interessieren. Zum Beispiel nach fünfmal ziehen, will man wissen, welche fünf Kugeln draußen sind, und es ist egal, welche Kugel zuerst gezogen wurde.
Wichtige Unterschiede
Wenn man die Reihenfolge beachtet, zählt man die gezogenen Kugeln
und
als zwei verschiedene Ergebnisse.
Ist die Reihenfolge egal, dann werden beide Möglichkeiten als dieselbe gezählt.
Merke: Ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es immer weniger Kombinationsmöglichkeiten!