Reguläre Vielecke

Regelmäßige, oder auch reguläre Vielecke sind Vielecke, deren Seiten alle die gleiche Länge besitzen und in denen alle Winkel gleich groß sind.

Alle regulären Vielecke haben einen eindeutigen In- und Umkreis mit demselben Mittelpunkt.

Beispiele

Formeln für regelmäßige n-Ecke

Innenwinkel

$$\alpha=\frac{\mathrm n-2}{\mathrm n}180^\circ$$

Flächeninhalt

$${\mathrm A}_{\mathrm{regelmäßiges}\;n-\mathrm{Eck}}=\frac{\mathrm{n\cdot a}^2}{4\cdot\tan\left({\displaystyle\frac{180^\circ}{\mathrm n}}\right)}$$

\(a\) ist hier eine Seitenlänge des regulären n-Ecks.

Umfang

$${\mathrm U}_{\mathrm{regelmäßiges}\;\mathrm n-\mathrm{Eck}}=\mathrm n\cdot\mathrm a$$

\(a\) ist eine Seitenlänge des regulären n-Ecks.

Man erhält die Fläche, indem man das n-Eck in einzelne gleichschenklige Dreiecke zerlegt, mit dem Umkreismittelpunkt als Spitze und den einzelnen Seiten als Basen.

Unter allen n-Ecken, die innerhalb eines Kreises liegen, besitzt das reguläre n-Eck den größten Flächeninhalt.

Konstruktion                                      

Die meisten regulären n-Ecke lassen sich nicht ohne weiteres konstruieren. Dreieck, Viereck, Sechseck, Achteck, Sechzehneck und Siebzehneck lassen sich nur mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Kreis als n-Eck

Für größere n sieht ein reguläres n-Eck dem Kreis immer ähnlicher. Man kann die Kreiszahl Pi näherungsweise berechnen, indem man den Umfang eines n-Ecks für immer größere n betrachtet. Der Grenzwert dieser Folge ist bei einem Umkreis mit Durchmesser \(1\) genau Pi.

\(\mathrm U=\mathrm n\cdot\mathrm a\)