Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz: \(\mathrm{kgV}\), mehrerer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein ganzzahliges Vielfaches jeder dieser Zahlen ist.
Ein "Vielfaches" - z. B. von der Zahl \(6\) - bezeichnet dabei das Ergebnis der Multiplikation von \(6\) mit einer ganzen Zahl (also sind Vielfache von \(6\) beispielsweise \(2\cdot6=12\) oder \(5\cdot 6=30\)).
Erklärung am Beispiel
Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(14\) nennt man \(\text{kgV}(4;14)\). Um es zu berechnen, kannst du alle eine Reihe von Vielfachen von \(4\) und \(14\) aufschreiben. Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von \(4\) und von \(14\) ist, ist der \(\text{kgV}\).
Vielfache von 4:
4,8,12,16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
Vielfache von 14:
14, 28, ...
\(\mathrm{kgV}(4;14)=28\), denn
\(28=4\cdot7\) und \(28=14\cdot2\) und
es gibt keine kleinere Zahl als \(28\), die ein Vielfaches von \(4\) und \(14\) ist.
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Berechnung durch Primfaktorzerlegung
Zunächst bestimmt man die Primfaktorzerlegung der Zahlen.
Das \(\mathrm{kgV}\) der Zahlen ist das Produkt ihrer Primfaktoren. Faktoren, die beide gemeinsam haben, werden nicht mehrfach gezählt.
Beispiel 1
Berechne \(\text{kgV}\left(4;14\right)\) mit Primfaktorzerlegung. Schreibe gleiche Faktoren untereinander.
$$\begin{array}{rcl}4&=&2&\cdot&2\\14&=&2&&&\cdot&7\end{array}$$Der kgV ist das Produkt aller Primfaktoren. Gleiche Primfaktoren in einer Reihe werden nur einmal genutzt.
$$\begin{array}{rcl}4&=&2&\cdot&2\\14&=&2&&&\cdot&7\\\text{kgV}(4;14)&=&2&\cdot&2&\cdot&7&=\textcolor{red}{28}\end{array}$$Beispiel 2
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von \(24\) und \(36\).
\(\begin{array}{rcl}24&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&3\\36&=&2&\cdot&2&&&\cdot&3&\cdot&3\\\text{kgV}(24;36)&=&2&\cdot&2&\cdot &2&\cdot&3&\cdot&3&=&\textcolor{red}{72}\end{array}\)
Beispiel 3
Auch mit mehreren Zahlen kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen. Das kgV von 16, 6 und 9 berechnest du so:
\(\begin{array}{rcl}16&=&2&\cdot&2&\cdot&2&\cdot&2\\6&=&2&&&&&&&\cdot&3\\9&=&&&&&&&&&3&\cdot&3\\\text{kgV}(16;6;9)&=&2&\cdot&2&\cdot &2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&3&=&\textcolor{red}{144}\end{array}\)
Berechnung mit dem größten gemeinsamen Teiler
Wenn man den größten gemeinsamen Teiler, kurz: \(\mathrm{ggT}\), der Zahlen \(a\) und \(b\) kennt, kann man die Formel
$$\mathrm{kgV}(a;b)=\frac{a\cdot b}{\mathrm{ggT}(a;b)}$$
anwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen.
Beispiel
\(\begin{array}{rl}\mathrm{ggT}(24;36)&=12\\\mathrm{kgV}(24;36)&=\displaystyle\dfrac{24\cdot36}{\mathrm{ggT}(24;36)}\\&=\displaystyle\dfrac{864}{12}=72\end{array}\)
Falls noch nicht bekannt, berechnet man den \(\mathrm{ggT}\) der Zahlen und berechnet das \(\mathrm{kgV}\) wie angegeben.