Die pq-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen

Zur Lösung quadratischer Gleichungen kann man die pq-Formel benutzen. Dieser Artikel erklärt dir mit anschaulichen Beispielen, wie man die pq-Formel verwendet. In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Aber was ist überhaupt eine quadratische Gleichung? Quadratische Gleichungen haben die Form \(ax^2+bx+c=0\). Die Variablen \(a\), \(b\) und \(c\) können durch beliebige Werte ersetzt werden.

Quadratische Gleichungen sind beispielsweise:

• \(x^2+2x+3=0\)

→ \(a=1\), \(b=2\), \(c=3\)

• \(2x^2+6x+2=0\)

→ \(a=2\), \(b=6\), \(c=2\)

• \(3x^2+4x+1=0\)

→ \(a=3\), \(b=4\), \(c=1\)

Um ganz korrekt zu sein, muss man noch hinzufügen, dass \(a\) nicht \(0\) sein darf.

pq-Formel anwenden

Eine quadratische Gleichung hat häufig zwei Lösungen \(x_1\) und \(x_2\). Hat die quadratische Gleichung die Form \(x^2+px+q=0\;\), so berechnet man die beiden Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) mit Hilfe der pq-Formel wie folgt:

$$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$

Achtung!

• Um die pq-Formel verwenden zu können, muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden \(a=1\) sein. Dazu sind eventuell Umformungen nötig:
• \(x^2+2x+3=0\) hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden \(a\) eine \(1\) (\(x^2\) entspricht \(1x^2\)) und kann mit der pq-Formel gelöst werden.
• \(2x^2+6x+2=0\) hat als Vorfaktor des quadratischen Summanden \(a\) eine \(2\) (\(2x^2\)) und muss zuerst umgeformt werden.
• Es gilt hier - wie bei der Mitternachtsformel - dass bei einem negativen Ausdruck unter der Wurzel keine Lösung existiert, sowie bei \(\left(\frac p2\right)^2-q=0\) die Lösungen \(x_1\;\mathrm{und}\;x_2\) zusammenfallen.

Den quadratischen Vorfaktor umformen

Wie bereits erwähnt muss der Vorfaktor des quadratischen Summanden \(a=1\) sein. Falls dies nicht der Fall sein sollte, kann man mit einer einfachen Umformung dies ganz einfach erreichen.So muss man den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 bringen und teilt dann beide Seiten der Gleichung durch \(a\):

1. \(ax^2+bx+c=\frac0a\)

2. \(x^2+\frac bax+\frac ca=0\)

Wie das ganze in der Realität ausschaut, erfährst du in diesem Beispiel.

pq-Formel: Musterbeispiele

Die folgenden Beispiele erklären anschaulich, wie man die pq-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen verwendet.

1. Musterbeispiel

Die Formel \(x^2+4x+3=0\) (\(a=1\), \(b=4\), \(c=3\)) hat als Vorfaktor eine \(1\) und kann somit direkt in die pq-Formel eingesetzt werden (\(p = 4\), \(q = 3\)):

$$x_{1,2}=-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-3}$$

Nun lösen wir die Formel:

1. \(x_{1,2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-3}\)
2. \(x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-3}\)
3. \(x_{1,2}=-2\pm\sqrt{1}\)
4. Somit ist \(x_{1}=-2+1\)
5. Und \(x_{2}=-2-1\)

Die Lösung lautet also:

• \(x_{1}=-1\) und
• \(x_{2}=-3\)

2. Musterbeispiel: Mit Umformung

Die Formel \(2x^2+8x+2=0\) (\(a=2\), \(b=8\), \(c=2\)) hat als Vorfaktor eine \(2\). Die Umformung schaut wie folgt aus:

$$x^2+\frac 82x+\frac 22=0$$

Kürzt man diese, erhält man:

$$x^2+4x+1=0$$

Setzt man diese nun in die pq-Formel ein (\(p=4\), \(q=1\)), erhält man folgende Gleichung:

$$x_{1,2}=-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-1}$$

Zur Lösung müssen nun lediglich die Brüche aufgelöst werden:

1. \(x_{1,2}=-2\pm\sqrt{\left(2\right)^2-1}\)
2. \(x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-1}\)
3. \(x_{1,2}=-2\pm\sqrt{3}\)
4. Somit ist \(x_{1}=-2+\sqrt{3}\)
5. Und \(x_{2}=-2-\sqrt{3}\)

Die Lösung lautet also:

• \(x_{1}=-2+\sqrt{3}\) und
• \(x_{2}=-2-\sqrt{3}\)

Video zur pq-Formel

Wie kommt man auf die pq-Formel?

Man kommt auf die pq-Formel, indem man eine allgemeine quadratische Gleichung in der Normalform \(x^2+px+q=0\) mit Hilfe der quadratischen Ergänzung löst.

\(x = -\frac p2\pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}\)

Beziehung zur Mitternachtsformel

In Teilen Deutschlands wird alternativ zur pq-Formel auch die sogenannte Mitternachtsformel zur Lösung von quadratischen Gleichungen benutzt. Dieser Abschnitt erklärt, wie diese beiden Formeln zusammenhängen.

Um den Vorfaktor vor dem quadratischen Term auf 1 zu bringen teilt man beide Seiten der Gleichung durch \(a\):

1. \(ax^2+bx+c=0\)

2. \(x^2+\frac bax+\frac ca=0\)

Setzt man die Koeffizienten der unteren Gleichung in die Mitternachtsformel ein, dann erhält man:

\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-{\frac ba}\pm\sqrt{\left({\frac ba}\right)^2-4\cdot1\cdot \frac ca}}{2\cdot1}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba}2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}\)

Wenn man für \(\frac ba = p\) einsetzt und für \(\frac ca = q\) ergibt sich die pq-Formel:

$$\displaystyle x_{1,2}=-\frac{\frac ba}2\pm\sqrt{\left(\frac{\ \frac ba\ }2\right)^2-\frac{4\frac ca}4}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-\frac44q}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$