Kreis: Umfang und Flächeninhalt

Der Kreis

• Teilt man bei einem beliebigen Kreis den Umfang durch den Durchmesser, kommt immer dieselbe Zahl heraus: \(\pi \approx 3{,}14159\). Das lässt sich mit Dosen und einem Maßband selbst herausfinden.
• Umfang: \(U = 2\pi r = \pi d\).
• Flächeninhalt: \(A = \pi r^2\). Anschaulich: Man zerschneidet den Kreis in viele schmale Sektoren und legt sie abwechselnd zu einem fast rechteckigen Streifen zusammen.
• Kreisbogen und Sektor: Bei einem Mittelpunktswinkel \(\alpha\) nimmt man den entsprechenden Anteil: \(b = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r\) und \(A = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2\).
• Vorsicht: Im Umfang steckt \(r\), in der Fläche \(r^2\). Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich der Umfang, aber die Fläche vervierfacht sich.
• Ist der Durchmesser gegeben, zuerst halbieren – ein häufiger Fehler.

1. Ein Kreis hat \(r = 6\,\mathrm{cm}\). Umfang und Fläche?
   Lösung

   \(U \approx 37{,}7\,\mathrm{cm}\); \(A \approx 113{,}1\,\mathrm{cm^2}\).
2. Ein Fahrradreifen hat 70 cm Durchmesser. Wie weit kommt man mit 100 Umdrehungen?
   Lösung

   \(\pi\cdot 0{,}7\cdot 100 \approx 220\,\mathrm{m}\).
3. Berechne die Fläche eines Kreissektors mit \(r=10\,\mathrm{cm}\) und \(\alpha=72^\circ\).
   Lösung

   \(\frac{72}{360}\cdot\pi\cdot 100 \approx 62{,}8\,\mathrm{cm^2}\).

1. Bestimme \(\pi\) durch eigenes Messen an fünf runden Gegenständen. Wie nah kommst du an 3,14?