Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Stochastik
Klasse 10
- Wie unterscheiden sich die vier Grundfälle?
- Warum ändert Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit der zweiten Ziehung?
Schlau Fassung
Ziehen mit und ohne Zurücklegen
- Vier Grundfälle ergeben sich aus zwei Fragen – Reihenfolge wichtig? Zurücklegen?
- Mit Zurücklegen, geordnet: \(n^k\). Beispiel: dreimal würfeln – \(6^3 = 216\).
- Ohne Zurücklegen, geordnet: \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\). Beispiel: die ersten drei Plätze bei 10 Läufern.
- Ohne Zurücklegen, ungeordnet: \(\binom{n}{k}\). Beispiel: Lotto oder eine Arbeitsgruppe.
- Mit Zurücklegen, ungeordnet: \(\binom{n+k-1}{k}\) – der seltenste Fall, etwa beim Ziehen von Bonbonsorten, bei denen nur zählt, wie viele von jeder Sorte dabei sind.
- Warum Zurücklegen alles ändert: Ohne Zurücklegen hängt die zweite Ziehung vom Ergebnis der ersten ab – die Grundmenge schrumpft. Mit Zurücklegen bleiben die Ziehungen unabhängig, jede beginnt bei denselben Voraussetzungen.
Aufgaben
- Aus 10 Kugeln werden 3 mit Zurücklegen gezogen, Reihenfolge wichtig. Wie viele Ergebnisse?
Lösung
\(10^3 = 1000\). - Dieselbe Ziehung ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge?
Lösung
\(\binom{10}{3} = 120\). - Warum sind Ziehungen mit Zurücklegen unabhängig?
Lösung
Die Ausgangslage ist vor jeder Ziehung dieselbe; das vorherige Ergebnis ändert nichts.
Weiterführende Aufgaben
- Führt beide Varianten mit einer Urne praktisch durch (je 50 Versuche) und vergleicht die relativen Häufigkeiten mit den berechneten Werten.