Anordnungen und Permutationen
- Was zählt \(n!\) genau?
- Wie geht man mit gleichen Objekten um?
Fakultät
Die Fakultät \(n!\) ist eine Schreibweise für das Produkt aller Zahlen \(1,2,3,\ldots,n\). Sie wird vor allem in der Kombinatorik oft verwendet, weil die Fakultät \(n!\) die Anzahl der Möglichkeiten angibt, eine beliebige Menge mit \(n\) Elementen zu ordnen. So gibt es \(3!=1\cdot 2\cdot 3=6\) Möglichkeiten, wie sich drei Personen für ein Foto aufstellen können.
Definition
Als Fakultät \(n!\) einer natürlichen Zahl \(n\) bezeichnet man das Produkt der Zahlen von \(1\) bis \(n\):
\(n!=1\cdot2\cdot3\cdot\;.\;.\;.\;\cdot(n-1)\cdot n\)
Außerdem ist festgelegt, dass \(0!=1\).
Einfache Beispiele
Anwendungen in der Kombinatorik
Permutationen
Die Fakultät einer Zahl \(n\) berechnet die Anzahl der Permutationen einer n-Elementigen Menge. Sie gibt also die Anzahl der Möglichkeiten an, eine Menge mit \(n\) Elementen zu sortieren.
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient \(\binom nk\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten wieder, \(k\) Elemente aus einer Menge mit \(n\) Elementen zu ziehen. Der Binomialkoeffizient kann mit Hilfe der Fakultät berechnet werden:
$$\binom nk=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}$$
Beispielaufgaben
1.
2.
Erklärung von Serlo Education e. V., lizenziert unter CC BY-SA 4.0 – Original bei Serlo, CC BY-SA 4.0, übernommen am 2026-09-03.
Schlau Fassung
Anordnungen und Permutationen
- Eine Permutation ist eine Anordnung aller Objekte in einer Reihenfolge. Für \(n\) verschiedene Objekte gibt es \(n!\) Anordnungen.
- Warum \(n!\)? Für den ersten Platz gibt es \(n\) Kandidaten, für den zweiten nur noch \(n-1\), und so weiter. Das Produkt dieser absteigenden Zahlen ist die Fakultät.
- Nur \(k\) Plätze besetzen (Variation ohne Zurücklegen): \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\). Beim Podest der ersten drei aus zehn Läufern sind es \(10\cdot9\cdot8 = 720\) Möglichkeiten.
- Gleiche Objekte werden herausgeteilt. Im Wort MISSISSIPPI (11 Buchstaben mit 4×I, 4×S, 2×P) gibt es \(\dfrac{11!}{4!\,4!\,2!} = 34\,650\) verschiedene Anordnungen – Vertauschungen gleicher Buchstaben ergeben kein neues Wort.
- Die Zahlen wachsen erschreckend schnell: \(10! = 3\,628\,800\), \(20!\) hat bereits 19 Stellen. Deshalb ist die Formel dem Abzählen so weit überlegen.
Aufgaben
- Wie viele Anordnungen haben 6 verschiedene Bücher?
Lösung
\(6! = 720\). - Wie viele Möglichkeiten gibt es für Gold, Silber und Bronze bei 8 Teilnehmenden?
Lösung
\(8\cdot7\cdot6 = 336\). - Wie viele verschiedene Wörter lassen sich aus den Buchstaben von OTTO bilden?
Lösung
\(\dfrac{4!}{2!\,2!} = 6\).
Weiterführende Aufgaben
- Berechnet, wie lange man bräuchte, um alle Anordnungen eines 52-Karten-Decks aufzuschreiben – eine pro Sekunde. Vergleicht mit dem Alter des Universums.